Номер 9, страница 55 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

9. Плоскость раскрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1.

9. Для доказательства этого утверждения воспользуемся простой геометрической конструкцией и принципом Дирихле.

Рассмотрим на плоскости произвольный равносторонний треугольник $ABC$ со стороной, равной 1. По определению равностороннего треугольника, расстояния между любыми двумя его вершинами равны длине его стороны: $AB = BC = AC = 1$.

Согласно условию задачи, вся плоскость, а значит и эти три вершины, раскрашена в два цвета. Назовем эти цвета условно «Цвет 1» и «Цвет 2».

Теперь нам нужно окрасить три вершины треугольника ($A$, $B$ и $C$) в один из двух доступных цветов. Здесь мы можем применить принцип Дирихле (также известный как принцип ящиков). В нашей задаче «голубями» являются три вершины, а «ящиками» — два цвета.

Поскольку количество вершин (3) больше, чем количество цветов (2), по крайней мере две вершины должны быть окрашены в один и тот же цвет. Без ограничения общности, предположим, что вершины $A$ и $B$ имеют одинаковый цвет.

Расстояние между точками $A$ и $B$ по построению равно 1. Таким образом, мы нашли две точки одного цвета, расстояние между которыми ровно 1.

Если бы одного цвета оказались другие пары вершин ($B$ и $C$, или $A$ и $C$), рассуждение было бы полностью аналогичным, так как расстояние между ними также равно 1.

Следовательно, мы доказали, что при любой раскраске плоскости в два цвета всегда найдутся две точки одного цвета на расстоянии 1 друг от друга.

Ответ: Утверждение доказано. Если рассмотреть равносторонний треугольник со стороной 1, то по принципу Дирихле как минимум две его вершины будут одного цвета. Расстояние между этими двумя вершинами по построению равно 1, что и требовалось доказать.