Номер 8, страница 106 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

8. а) Запишите все значения $m$, при которых дробь $\frac{m}{10}$ будет правильной несократимой.

б) Запишите три значения $k$, при которых дробь $\frac{k}{8}$ будет неправильной несократимой.

а) Чтобы найти все значения m, при которых дробь $\frac{m}{10}$ будет правильной несократимой, необходимо выполнить два условия.

1. Дробь должна быть правильной. Это означает, что числитель должен быть меньше знаменателя. Поскольку числитель m должен быть натуральным числом, получаем неравенство $1 \le m < 10$. Таким образом, m может быть любым целым числом от 1 до 9.

2. Дробь должна быть несократимой. Это означает, что наибольший общий делитель (НОД) числителя m и знаменателя 10 должен быть равен 1, то есть $\text{НОД}(m, 10) = 1$.
Разложим знаменатель 10 на простые множители: $10 = 2 \cdot 5$.
Чтобы дробь была несократимой, числитель m не должен делиться ни на 2, ни на 5.

Теперь объединим оба условия. Выберем из чисел от 1 до 9 те, которые не делятся на 2 (то есть нечетные) и не делятся на 5.

• 1: не делится на 2 и на 5. Подходит.
• 2: делится на 2. Не подходит.
• 3: не делится на 2 и на 5. Подходит.
• 4: делится на 2. Не подходит.
• 5: делится на 5. Не подходит.
• 6: делится на 2. Не подходит.
• 7: не делится на 2 и на 5. Подходит.
• 8: делится на 2. Не подходит.
• 9: не делится на 2 и на 5. Подходит.

Таким образом, искомые значения m: 1, 3, 7, 9.

Ответ: 1, 3, 7, 9.

б) Чтобы найти три значения k, при которых дробь $\frac{k}{8}$ будет неправильной несократимой, также необходимо выполнить два условия.

1. Дробь должна быть неправильной. Это означает, что числитель должен быть больше или равен знаменателю: $k \ge 8$.

2. Дробь должна быть несократимой. Это означает, что $\text{НОД}(k, 8) = 1$.
Разложим знаменатель 8 на простые множители: $8 = 2^3$.
Чтобы дробь была несократимой, числитель k не должен делиться на 2, то есть k должно быть нечетным числом.

Объединяем условия: нам нужно найти три любых нечетных числа, которые больше или равны 8.

Например, мы можем взять первые три таких числа:

• 9 (нечетное, $9 > 8$, $\text{НОД}(9, 8)=1$)
• 11 (нечетное, $11 > 8$, $\text{НОД}(11, 8)=1$)
• 13 (нечетное, $13 > 8$, $\text{НОД}(13, 8)=1$)

Можно выбрать и другие значения, например, 15, 17, 19 и так далее.

Ответ: 9, 11, 13 (или любые другие три нечетных числа, которые больше 8).