Номер 9, страница 107 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

9. а) Запишите все значения b, при которых дробь $\frac{b}{8}$ будет правильной несократимой.

б) Запишите три значения c, при которых дробь $\frac{c}{9}$ будет неправильной несократимой.

а) Чтобы дробь была правильной, ее числитель должен быть меньше знаменателя. В дроби $ \frac{b}{8} $ это означает, что $ b < 8 $. Поскольку числитель дроби — это натуральное число, то возможные значения для $b$ — это 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Чтобы дробь была несократимой, ее числитель и знаменатель не должны иметь общих делителей, кроме единицы. Иными словами, их наибольший общий делитель (НОД) должен быть равен 1. Знаменатель 8 имеет простые делители только число 2 (поскольку $8 = 2^3$). Это значит, что для несократимости дроби $ \frac{b}{8} $ числитель $b$ не должен быть четным числом, то есть $b$ должен быть нечетным.

Совместим оба условия: нам нужно найти все нечетные натуральные числа, которые меньше 8. Из списка возможных значений {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} выбираем нечетные: 1, 3, 5, 7.
Ответ: 1, 3, 5, 7.

б) Чтобы дробь была неправильной, ее числитель должен быть больше или равен знаменателю. В дроби $ \frac{c}{9} $ это означает, что $ c \ge 9 $.

Чтобы дробь была несократимой, ее числитель и знаменатель не должны иметь общих делителей, кроме единицы (НОД(c, 9) = 1). Знаменатель 9 имеет простые делители только число 3 (поскольку $9 = 3^2$). Это значит, что для несократимости дроби $ \frac{c}{9} $ числитель $c$ не должен делиться на 3.

Нам нужно найти три значения $c$, которые удовлетворяют обоим условиям: $ c \ge 9 $ и $c$ не делится на 3. Будем проверять числа по порядку, начиная с 9:

• $ c=9 $: $ 9 \ge 9 $, но 9 делится на 3. Не подходит.
• $ c=10 $: $ 10 \ge 9 $ и 10 не делится на 3. Подходит.
• $ c=11 $: $ 11 \ge 9 $ и 11 не делится на 3. Подходит.
• $ c=12 $: $ 12 \ge 9 $, но 12 делится на 3. Не подходит.
• $ c=13 $: $ 13 \ge 9 $ и 13 не делится на 3. Подходит.

Мы нашли три подходящих значения. Можно указать любые три из бесконечного множества таких чисел (10, 11, 13, 14, 16, 17, ...).
Ответ: 10, 11, 13.