Номер 6, страница 168 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

6. Отметьте пять точек $A, B, C, D, F$, которые не лежат на одной прямой. Определите, сколько четырёхугольников можно построить с вершинами в данных точках.

Для решения этой задачи необходимо определить, сколькими способами можно выбрать 4 вершины для четырёхугольника из 5 данных точек A, B, C, D, F. В условии сказано, что точки не лежат на одной прямой. В задачах по комбинаторике это обычно означает, что никакие три точки не являются коллинеарными (не лежат на одной прямой). При таком условии любой выбор четырех точек будет образовывать вершины некоторого четырёхугольника.

Таким образом, задача сводится к вычислению количества сочетаний из 5 элементов по 4. Сочетания используются потому, что порядок выбора вершин не важен (четырёхугольник с вершинами A, B, C, D — это тот же самый четырёхугольник, что и с вершинами B, A, C, D).

Формула для расчёта числа сочетаний из $n$ по $k$ выглядит следующим образом:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее количество точек $n=5$, а для построения четырёхугольника мы выбираем $k=4$ вершины.

Подставляем значения в формулу и вычисляем:

$C_5^4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4! \cdot 1!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 1} = \frac{120}{24} = 5$

Этот результат можно интерпретировать и по-другому: выбор 4 точек из 5 для построения фигуры эквивалентен выбору 1 точки, которая не будет использоваться. Поскольку у нас всего 5 точек, существует ровно 5 способов оставить одну из них. Каждому такому способу соответствует один уникальный четырёхугольник.

Например, если мы не используем точку F, мы получаем четырёхугольник ABCD. Если не используем точку D, получаем ABCF, и так далее.

Ответ: 5.