Номер 12, страница 167 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

12. a) Воду из полностью заполненного аквариума, который имеет форму прямоугольного параллелепипеда, перелили в аквариум в форме куба. Каким наименьшим натуральным числом сантиметров может быть выражена длина ребра этого куба, если измерения прямоугольного аквариума равны 20 см, 30 см и 60 см?

б) Воду из полностью заполненного аквариума, который имеет форму прямоугольного параллелепипеда, перелили в аквариум в форме куба. Каким наименьшим натуральным числом сантиметров может быть выражена длина ребра этого куба, если измерения прямоугольного аквариума равны 60 см, 40 см и 50 см?

а)

Сначала найдем объем воды, который равен объему полностью заполненного аквариума в форме прямоугольного параллелепипеда. Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле произведения трех его измерений (длины, ширины и высоты):

$V_{параллелепипеда} = l \times w \times h$

Подставим данные из условия задачи: измерения равны 20 см, 30 см и 60 см.

$V_{воды} = 20 \times 30 \times 60 = 36000 \text{ см}^3$

Эту воду перелили в аквариум в форме куба. Объем куба вычисляется по формуле:

$V_{куба} = a^3$

где $a$ – длина ребра куба. Чтобы вся вода поместилась в кубический аквариум, его объем должен быть не меньше объема воды. То есть, должно выполняться неравенство:

$V_{куба} \ge V_{воды}$

$a^3 \ge 36000$

Нам необходимо найти наименьшее натуральное (целое положительное) число $a$, которое удовлетворяет этому условию. Для этого найдем, какому числу должен быть не меньше $a$:

$a \ge \sqrt[3]{36000}$

Оценим значение кубического корня. Подберем ближайшие целые числа:

$30^3 = 27000$

$40^3 = 64000$

Значение $a$ находится в промежутке между 30 и 40. Проверим целые числа, возводя их в куб, чтобы найти наименьшее, куб которого будет больше или равен 36000.

$33^3 = 33 \times 33 \times 33 = 35937$

$34^3 = 34 \times 34 \times 34 = 39304$

Поскольку $33^3 = 35937 < 36000$, куб с ребром 33 см не сможет вместить всю воду. А так как $34^3 = 39304 > 36000$, куб с ребром 34 см является достаточным по объему. Следовательно, наименьшее натуральное число, которым может быть выражена длина ребра куба, равно 34.

Ответ: 34 см.

б)

Действуем аналогично предыдущему пункту. Сначала вычислим объем воды, равный объему прямоугольного аквариума с измерениями 60 см, 40 см и 50 см.

$V_{воды} = 60 \times 40 \times 50 = 120000 \text{ см}^3$

Пусть $a$ – длина ребра кубического аквариума, выраженная в сантиметрах. Его объем должен быть не меньше объема воды:

$V_{куба} = a^3 \ge V_{воды}$

$a^3 \ge 120000$

Найдем наименьшее натуральное число $a$, для которого выполняется это условие:

$a \ge \sqrt[3]{120000}$

Оценим значение кубического корня. Подберем ближайшие целые числа:

$40^3 = 64000$

$50^3 = 125000$

Значение $a$ находится в промежутке между 40 и 50. Проверим целые числа, близкие к 50:

$49^3 = 49 \times 49 \times 49 = 117649$

$50^3 = 50 \times 50 \times 50 = 125000$

Поскольку $49^3 = 117649 < 120000$, куб с ребром 49 см не сможет вместить всю воду. А так как $50^3 = 125000 > 120000$, куб с ребром 50 см является достаточным по объему. Таким образом, наименьшее натуральное число для длины ребра куба равно 50.

Ответ: 50 см.