Номер 9, страница 166 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

9. a) Какое наибольшее количество прямоугольных параллелепипедов с рёбрами $8\text{ см}$, $5\text{ см}$ и $6\text{ см}$ можно поместить в ящик, который имеет форму прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $48\text{ см}$, $92\text{ см}$ и $10\text{ см}$?

б) Какое наибольшее количество прямоугольных параллелепипедов с рёбрами $9\text{ см}$, $4\text{ см}$ и $5\text{ см}$ можно поместить в ящик, который имеет форму прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $72\text{ см}$, $91\text{ см}$ и $10\text{ см}$?

а)

Чтобы найти наибольшее количество прямоугольных параллелепипедов (далее — коробок), которые можно поместить в ящик, необходимо рассмотреть все возможные варианты их укладки. Простое деление объема ящика на объем одной коробки может дать неверный результат, так как из-за несовпадения размеров сторон может остаться неиспользуемое пространство, в которое целая коробка уже не поместится.

Размеры ящика: 48 см, 92 см и 10 см.
Размеры одной коробки: 8 см, 5 см и 6 см.

Мы должны проверить все возможные ориентации коробки относительно сторон ящика. Существует 6 основных способов ориентации (комбинаций расположения ребер). Для каждого способа рассчитаем, сколько целых коробок поместится вдоль каждого измерения ящика, перемножив полученные значения.

Пусть размеры ящика $L=92$ см, $W=48$ см, $H=10$ см. Размеры коробки $l=8$ см, $w=6$ см, $h=5$ см. Общая формула для количества коробок при одной ориентации: $N = \lfloor \frac{L}{d_1} \rfloor \times \lfloor \frac{W}{d_2} \rfloor \times \lfloor \frac{H}{d_3} \rfloor$, где $d_1, d_2, d_3$ — это одна из перестановок размеров коробки $(l, w, h)$, а $\lfloor x \rfloor$ — функция взятия целой части от числа.

Рассмотрим все 6 вариантов расположения ребер коробки:

1. Ребра коробки 8, 6, 5 см располагаем вдоль ребер ящика 92, 48, 10 см соответственно.
   Количество коробок: $N_1 = \lfloor \frac{92}{8} \rfloor \times \lfloor \frac{48}{6} \rfloor \times \lfloor \frac{10}{5} \rfloor = 11 \times 8 \times 2 = 176$.
2. Ребра 8, 5, 6 см вдоль 92, 48, 10 см.
   Количество коробок: $N_2 = \lfloor \frac{92}{8} \rfloor \times \lfloor \frac{48}{5} \rfloor \times \lfloor \frac{10}{6} \rfloor = 11 \times 9 \times 1 = 99$.
3. Ребра 6, 8, 5 см вдоль 92, 48, 10 см.
   Количество коробок: $N_3 = \lfloor \frac{92}{6} \rfloor \times \lfloor \frac{48}{8} \rfloor \times \lfloor \frac{10}{5} \rfloor = 15 \times 6 \times 2 = 180$.
4. Ребра 6, 5, 8 см вдоль 92, 48, 10 см.
   Количество коробок: $N_4 = \lfloor \frac{92}{6} \rfloor \times \lfloor \frac{48}{5} \rfloor \times \lfloor \frac{10}{8} \rfloor = 15 \times 9 \times 1 = 135$.
5. Ребра 5, 8, 6 см вдоль 92, 48, 10 см.
   Количество коробок: $N_5 = \lfloor \frac{92}{5} \rfloor \times \lfloor \frac{48}{8} \rfloor \times \lfloor \frac{10}{6} \rfloor = 18 \times 6 \times 1 = 108$.
6. Ребра 5, 6, 8 см вдоль 92, 48, 10 см.
   Количество коробок: $N_6 = \lfloor \frac{92}{5} \rfloor \times \lfloor \frac{48}{6} \rfloor \times \lfloor \frac{10}{8} \rfloor = 18 \times 8 \times 1 = 144$.

Сравнивая полученные результаты, видим, что наибольшее количество коробок, которое можно поместить в ящик, составляет 180.

Ответ: 180

б)

Аналогично пункту а), найдем наибольшее количество коробок, которое можно поместить в ящик, проверив все возможные ориентации.

Размеры ящика: 72 см, 91 см и 10 см.
Размеры одной коробки: 9 см, 4 см и 5 см.

Пусть размеры ящика $L=91$ см, $W=72$ см, $H=10$ см. Размеры коробки $l=9$ см, $w=5$ см, $h=4$ см.

Рассмотрим все 6 вариантов расположения ребер коробки:

1. Ребра коробки 9, 5, 4 см располагаем вдоль ребер ящика 91, 72, 10 см соответственно.
   Количество коробок: $N_1 = \lfloor \frac{91}{9} \rfloor \times \lfloor \frac{72}{5} \rfloor \times \lfloor \frac{10}{4} \rfloor = 10 \times 14 \times 2 = 280$.
2. Ребра 9, 4, 5 см вдоль 91, 72, 10 см.
   Количество коробок: $N_2 = \lfloor \frac{91}{9} \rfloor \times \lfloor \frac{72}{4} \rfloor \times \lfloor \frac{10}{5} \rfloor = 10 \times 18 \times 2 = 360$.
3. Ребра 5, 9, 4 см вдоль 91, 72, 10 см.
   Количество коробок: $N_3 = \lfloor \frac{91}{5} \rfloor \times \lfloor \frac{72}{9} \rfloor \times \lfloor \frac{10}{4} \rfloor = 18 \times 8 \times 2 = 288$.
4. Ребра 5, 4, 9 см вдоль 91, 72, 10 см.
   Количество коробок: $N_4 = \lfloor \frac{91}{5} \rfloor \times \lfloor \frac{72}{4} \rfloor \times \lfloor \frac{10}{9} \rfloor = 18 \times 18 \times 1 = 324$.
5. Ребра 4, 9, 5 см вдоль 91, 72, 10 см.
   Количество коробок: $N_5 = \lfloor \frac{91}{4} \rfloor \times \lfloor \frac{72}{9} \rfloor \times \lfloor \frac{10}{5} \rfloor = 22 \times 8 \times 2 = 352$.
6. Ребра 4, 5, 9 см вдоль 91, 72, 10 см.
   Количество коробок: $N_6 = \lfloor \frac{91}{4} \rfloor \times \lfloor \frac{72}{5} \rfloor \times \lfloor \frac{10}{9} \rfloor = 22 \times 14 \times 1 = 308$.

Сравнив полученные значения, мы видим, что максимальное количество коробок равно 360.

Ответ: 360