Номер 1, страница 168 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

1. Постройте две перпендикулярные прямые $a$ и $b$. Отметьте точку $P$, не принадлежащую этим прямым. Проведите через точку $P$ две прямые $m$ и $n$ так, чтобы $m \perp a$, $n \perp b$.

Для решения данной задачи необходимо выполнить последовательность геометрических построений.

1. Построение перпендикулярных прямых a и b

С помощью линейки проведем произвольную прямую и обозначим ее $a$. Далее, используя угольник или циркуль, построим прямую $b$, которая пересекает прямую $a$ под углом 90 градусов. Таким образом, по определению, мы получаем две перпендикулярные прямые: $a \perp b$.

2. Выбор точки P

Отметим на плоскости точку $P$ в произвольном месте, но так, чтобы она не принадлежала ни прямой $a$, ни прямой $b$. То есть, $P \notin a$ и $P \notin b$.

3. Построение прямой m через точку P, перпендикулярной прямой a

Проведем через точку $P$ прямую, перпендикулярную прямой $a$. Обозначим эту новую прямую как $m$. По построению, $m \perp a$.
Из свойств перпендикулярных и параллельных прямых известно, что если две прямые (в нашем случае $m$ и $b$) перпендикулярны третьей прямой ($a$), то они параллельны между собой. Следовательно, построенная прямая $m$ параллельна прямой $b$, то есть $m \parallel b$.

4. Построение прямой n через точку P, перпендикулярной прямой b

Аналогично предыдущему шагу, проведем через ту же точку $P$ прямую, перпендикулярную прямой $b$. Обозначим эту прямую как $n$. По построению, $n \perp b$.
Так как прямые $n$ и $a$ обе перпендикулярны прямой $b$, они параллельны друг другу. Следовательно, $n \parallel a$.

Заключение

Мы выполнили все условия задачи: построили две перпендикулярные прямые $a$ и $b$, отметили точку $P$ вне этих прямых и провели через нее две новые прямые $m$ и $n$ так, что выполнены условия $m \perp a$ и $n \perp b$.
В ходе решения мы также выяснили, что $m \parallel b$ и $n \parallel a$. Так как исходные прямые $a$ и $b$ были перпендикулярны, то и прямые $m$ и $n$, параллельные им, также будут перпендикулярны друг другу: $m \perp n$. Прямые $a, b, m, n$ образуют на плоскости прямоугольную сетку.

Ответ: Построение выполнено согласно описанным шагам. Через точку $P$ проведены прямые $m$ и $n$, удовлетворяющие заданным условиям $m \perp a$ и $n \perp b$.