Номер 17, страница 179 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

17. Известно, что в субботу $\frac{3}{4}$ класса ходили в кино, в воскресенье $\frac{2}{7}$ класса ходили на хоккейный матч. Сколько учащихся в классе, если известно, что их меньше 30?

Пусть $N$ — общее количество учащихся в классе. Согласно условию задачи, в субботу в кино ходили $\frac{3}{4}$ всех учащихся, а в воскресенье на хоккейный матч — $\frac{2}{7}$ всех учащихся.

Поскольку количество учащихся — это целое число, то число учеников, посетивших кино ($\frac{3}{4} \times N$), и число учеников, посетивших хоккейный матч ($\frac{2}{7} \times N$), также должны быть целыми числами.

Чтобы выражение $\frac{3}{4} \times N$ было целым числом, $N$ должно делиться на 4 без остатка. Чтобы выражение $\frac{2}{7} \times N$ было целым числом, $N$ должно делиться на 7 без остатка.

Таким образом, общее количество учащихся в классе $N$ должно быть числом, которое делится и на 4, и на 7. То есть $N$ является общим кратным чисел 4 и 7.

Для нахождения таких чисел найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 4 и 7. Поскольку 4 и 7 — взаимно простые числа (не имеют общих делителей, кроме 1), их НОК равно их произведению: $НОК(4, 7) = 4 \times 7 = 28$.

Все общие кратные чисел 4 и 7 будут кратны 28. То есть, возможные значения для количества учеников в классе — это 28, 56, 84 и так далее.

По условию задачи, количество учащихся в классе меньше 30. Из всех возможных значений (28, 56, 84, ...) единственное, которое удовлетворяет этому условию, — это 28.

Ответ: 28 учащихся.