Номер 16, страница 179 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

16. Одной фирме, чтобы выполнить заказ, нужно 12 ч, другой — на 2 ч меньше, чем первой, а третьей — в $1\frac{1}{2}$ раза больше времени, чем второй. За сколько времени могут выполнить заказ три фирмы, работая совместно?

Для решения задачи необходимо последовательно выполнить следующие шаги: найти время выполнения заказа для второй и третьей фирм, затем вычислить их общую производительность и, наконец, определить общее время выполнения заказа при совместной работе.

1. Вычисление времени для второй и третьей фирм
Первая фирма выполняет заказ за $T_1 = 12$ часов.
Вторая фирма выполняет заказ на 2 часа быстрее, чем первая:
$T_2 = 12 - 2 = 10$ (часов).
Третья фирма выполняет заказ в $1\frac{1}{2}$ раза дольше, чем вторая. Переведем $1\frac{1}{2}$ в десятичную дробь: $1\frac{1}{2} = 1.5$.
$T_3 = 10 \cdot 1.5 = 15$ (часов).

2. Вычисление общей производительности
Производительность — это часть работы, выполняемая за 1 час. Примем всю работу (весь заказ) за 1.
- Производительность первой фирмы: $P_1 = \frac{1}{T_1} = \frac{1}{12}$ заказа/час.
- Производительность второй фирмы: $P_2 = \frac{1}{T_2} = \frac{1}{10}$ заказа/час.
- Производительность третьей фирмы: $P_3 = \frac{1}{T_3} = \frac{1}{15}$ заказа/час.
Общая производительность при совместной работе равна сумме производительностей всех трех фирм:
$P_{общ} = P_1 + P_2 + P_3 = \frac{1}{12} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15}$
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 12, 10 и 15 равно 60.
$P_{общ} = \frac{5}{60} + \frac{6}{60} + \frac{4}{60} = \frac{5+6+4}{60} = \frac{15}{60}$
Сократим полученную дробь:
$P_{общ} = \frac{15}{60} = \frac{1}{4}$ заказа/час.

3. Вычисление общего времени выполнения заказа
Чтобы найти время, за которое три фирмы выполнят заказ вместе ($T_{общ}$), нужно всю работу (1) разделить на их общую производительность ($P_{общ}$):
$T_{общ} = \frac{1}{P_{общ}} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$ (часа).

Ответ: 4 часа.