Номер 12, страница 178 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

12. Решите уравнение:

а) $\frac{3}{7} - (x - \frac{1}{8}) = \frac{3}{4} - \frac{1}{2};$

б) $\frac{2}{3} + (\frac{1}{8} + x) = \frac{5}{6} + \frac{1}{12};$

в) $3 - (x + 1\frac{1}{5}) = 1\frac{7}{25};$

г) $5 - (x + \frac{2}{3}) = 3\frac{5}{18};$

д) $(\frac{5}{6}x - \frac{1}{4}) \cdot 16 = 6;$

е) $(\frac{3}{5}x - \frac{2}{3}) \cdot 30 = 16;$

ж) $\frac{3}{5}x - \frac{1}{3}x = 1\frac{4}{5};$

з) $\frac{3}{4}y - \frac{1}{3}y = 3\frac{1}{8}.$

а) $ \frac{3}{7} - \left(x - \frac{1}{8}\right) = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} $
1. Упростим правую часть уравнения. Общий знаменатель для 4 и 2 равен 4.
$ \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} - \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4} $
Уравнение примет вид:
$ \frac{3}{7} - \left(x - \frac{1}{8}\right) = \frac{1}{4} $
2. Выразим скобку $ \left(x - \frac{1}{8}\right) $. Она является вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
$ x - \frac{1}{8} = \frac{3}{7} - \frac{1}{4} $
3. Вычислим разность в правой части. Общий знаменатель для 7 и 4 равен 28.
$ \frac{3}{7} - \frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4}{28} - \frac{1 \cdot 7}{28} = \frac{12 - 7}{28} = \frac{5}{28} $
Получаем уравнение:
$ x - \frac{1}{8} = \frac{5}{28} $
4. Найдем $x$. $x$ является уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
$ x = \frac{5}{28} + \frac{1}{8} $
5. Приведем дроби к общему знаменателю 56.
$ x = \frac{5 \cdot 2}{56} + \frac{1 \cdot 7}{56} = \frac{10 + 7}{56} = \frac{17}{56} $
Ответ: $x = \frac{17}{56}$

б) $ \frac{2}{3} + \left(\frac{1}{8} + x\right) = \frac{5}{6} + \frac{1}{12} $
1. Упростим правую часть уравнения. Общий знаменатель для 6 и 12 равен 12.
$ \frac{5}{6} + \frac{1}{12} = \frac{5 \cdot 2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{10 + 1}{12} = \frac{11}{12} $
Уравнение примет вид:
$ \frac{2}{3} + \left(\frac{1}{8} + x\right) = \frac{11}{12} $
2. Раскроем скобки. Так как перед скобкой стоит знак плюс, знаки внутри не меняются.
$ \frac{2}{3} + \frac{1}{8} + x = \frac{11}{12} $
3. Сложим дроби в левой части. Общий знаменатель для 3 и 8 равен 24.
$ \frac{2}{3} + \frac{1}{8} = \frac{2 \cdot 8}{24} + \frac{1 \cdot 3}{24} = \frac{16 + 3}{24} = \frac{19}{24} $
Получаем уравнение:
$ \frac{19}{24} + x = \frac{11}{12} $
4. Найдем $x$. $x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
$ x = \frac{11}{12} - \frac{19}{24} $
5. Приведем дроби к общему знаменателю 24.
$ x = \frac{11 \cdot 2}{24} - \frac{19}{24} = \frac{22 - 19}{24} = \frac{3}{24} $
6. Сократим полученную дробь.
$ x = \frac{3}{24} = \frac{1}{8} $
Ответ: $x = \frac{1}{8}$

в) $ 3 - \left(x + 1\frac{1}{5}\right) = 1\frac{7}{25} $
1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.
$ 1\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{6}{5} $
$ 1\frac{7}{25} = \frac{1 \cdot 25 + 7}{25} = \frac{32}{25} $
Уравнение примет вид:
$ 3 - \left(x + \frac{6}{5}\right) = \frac{32}{25} $
2. Выразим скобку $ \left(x + \frac{6}{5}\right) $. Она является вычитаемым.
$ x + \frac{6}{5} = 3 - \frac{32}{25} $
3. Вычислим разность в правой части.
$ 3 - \frac{32}{25} = \frac{3 \cdot 25}{25} - \frac{32}{25} = \frac{75 - 32}{25} = \frac{43}{25} $
Получаем уравнение:
$ x + \frac{6}{5} = \frac{43}{25} $
4. Найдем $x$.
$ x = \frac{43}{25} - \frac{6}{5} $
5. Приведем дроби к общему знаменателю 25.
$ x = \frac{43}{25} - \frac{6 \cdot 5}{25} = \frac{43 - 30}{25} = \frac{13}{25} $
Ответ: $x = \frac{13}{25}$

г) $ 5 - \left(x + \frac{2}{3}\right) = 3\frac{5}{18} $
1. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь.
$ 3\frac{5}{18} = \frac{3 \cdot 18 + 5}{18} = \frac{54 + 5}{18} = \frac{59}{18} $
Уравнение примет вид:
$ 5 - \left(x + \frac{2}{3}\right) = \frac{59}{18} $
2. Выразим скобку $ \left(x + \frac{2}{3}\right) $.
$ x + \frac{2}{3} = 5 - \frac{59}{18} $
3. Вычислим разность в правой части.
$ 5 - \frac{59}{18} = \frac{5 \cdot 18}{18} - \frac{59}{18} = \frac{90 - 59}{18} = \frac{31}{18} $
Получаем уравнение:
$ x + \frac{2}{3} = \frac{31}{18} $
4. Найдем $x$.
$ x = \frac{31}{18} - \frac{2}{3} $
5. Приведем дроби к общему знаменателю 18.
$ x = \frac{31}{18} - \frac{2 \cdot 6}{18} = \frac{31 - 12}{18} = \frac{19}{18} $
6. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число.
$ x = 1\frac{1}{18} $
Ответ: $x = 1\frac{1}{18}$

д) $ \left(\frac{5}{6}x - \frac{1}{4}\right) \cdot 16 = 6 $
1. Разделим обе части уравнения на 16. Скобка является неизвестным множителем.
$ \frac{5}{6}x - \frac{1}{4} = \frac{6}{16} $
2. Сократим дробь в правой части.
$ \frac{6}{16} = \frac{3}{8} $
Уравнение примет вид:
$ \frac{5}{6}x - \frac{1}{4} = \frac{3}{8} $
3. Перенесем $ \frac{1}{4} $ в правую часть, изменив знак.
$ \frac{5}{6}x = \frac{3}{8} + \frac{1}{4} $
4. Вычислим сумму в правой части. Общий знаменатель 8.
$ \frac{3}{8} + \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{5}{8} $
Получаем уравнение:
$ \frac{5}{6}x = \frac{5}{8} $
5. Найдем $x$. $x$ является неизвестным множителем.
$ x = \frac{5}{8} : \frac{5}{6} = \frac{5}{8} \cdot \frac{6}{5} = \frac{5 \cdot 6}{8 \cdot 5} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} $
Ответ: $x = \frac{3}{4}$

е) $ \left(\frac{3}{5}x - \frac{2}{3}\right) \cdot 30 = 16 $
1. Раскроем скобки, умножив каждый член в скобках на 30.
$ \frac{3}{5}x \cdot 30 - \frac{2}{3} \cdot 30 = 16 $
2. Выполним умножение.
$ \frac{3 \cdot 30}{5}x - \frac{2 \cdot 30}{3} = 16 $
$ 3 \cdot 6 \cdot x - 2 \cdot 10 = 16 $
$ 18x - 20 = 16 $
3. Перенесем -20 в правую часть, изменив знак.
$ 18x = 16 + 20 $
$ 18x = 36 $
4. Найдем $x$.
$ x = \frac{36}{18} $
$ x = 2 $
Ответ: $x = 2$

ж) $ \frac{3}{5}x - \frac{1}{3}x = 1\frac{4}{5} $
1. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь.
$ 1\frac{4}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{9}{5} $
Уравнение примет вид:
$ \frac{3}{5}x - \frac{1}{3}x = \frac{9}{5} $
2. Вынесем $x$ за скобки в левой части уравнения.
$ x \left(\frac{3}{5} - \frac{1}{3}\right) = \frac{9}{5} $
3. Вычислим разность в скобках. Общий знаменатель 15.
$ \frac{3 \cdot 3}{15} - \frac{1 \cdot 5}{15} = \frac{9 - 5}{15} = \frac{4}{15} $
Получаем уравнение:
$ \frac{4}{15}x = \frac{9}{5} $
4. Найдем $x$.
$ x = \frac{9}{5} : \frac{4}{15} = \frac{9}{5} \cdot \frac{15}{4} = \frac{9 \cdot 15}{5 \cdot 4} = \frac{9 \cdot 3}{4} = \frac{27}{4} $
5. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число.
$ x = 6\frac{3}{4} $
Ответ: $x = 6\frac{3}{4}$

з) $ \frac{3}{4}y - \frac{1}{3}y = 3\frac{1}{8} $
1. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь.
$ 3\frac{1}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{25}{8} $
Уравнение примет вид:
$ \frac{3}{4}y - \frac{1}{3}y = \frac{25}{8} $
2. Вынесем $y$ за скобки в левой части уравнения.
$ y \left(\frac{3}{4} - \frac{1}{3}\right) = \frac{25}{8} $
3. Вычислим разность в скобках. Общий знаменатель 12.
$ \frac{3 \cdot 3}{12} - \frac{1 \cdot 4}{12} = \frac{9 - 4}{12} = \frac{5}{12} $
Получаем уравнение:
$ \frac{5}{12}y = \frac{25}{8} $
4. Найдем $y$.
$ y = \frac{25}{8} : \frac{5}{12} = \frac{25}{8} \cdot \frac{12}{5} = \frac{25 \cdot 12}{8 \cdot 5} = \frac{5 \cdot 12}{8} = \frac{5 \cdot 3}{2} = \frac{15}{2} $
5. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число.
$ y = 7\frac{1}{2} $
Ответ: $y = 7\frac{1}{2}$