Номер 15, страница 179 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

15. Первый насос может откачать воду из котлована за $3\frac{1}{3}$ ч, а второй в $1\frac{1}{2}$ раза быстрее. За сколько часов откачают воду оба насоса, если они будут работать одновременно?

Для решения задачи выполним следующие действия по шагам.

1. Найдём время, за которое второй насос может откачать всю воду.

Сначала переведем смешанные числа в неправильные дроби для удобства расчетов.
Время работы первого насоса: $T_1 = 3 \frac{1}{3} = \frac{3 \times 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$ часа.
Второй насос работает в $1 \frac{1}{2} = \frac{1 \times 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$ раза быстрее. Это означает, что ему потребуется в $\frac{3}{2}$ раза меньше времени.
Время работы второго насоса: $T_2 = T_1 \div \frac{3}{2} = \frac{10}{3} \div \frac{3}{2} = \frac{10}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{20}{9}$ часа.

2. Определим производительность (скорость работы) каждого насоса.

Примем весь объем воды в котловане за 1 (единицу). Производительность — это часть работы, выполняемая за 1 час.
Производительность первого насоса: $P_1 = 1 \div T_1 = 1 \div \frac{10}{3} = \frac{3}{10}$ часть котлована в час.
Производительность второго насоса: $P_2 = 1 \div T_2 = 1 \div \frac{20}{9} = \frac{9}{20}$ часть котлована в час.

3. Найдём общую производительность двух насосов при совместной работе.

При одновременной работе производительности насосов складываются.
Общая производительность: $P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{3}{10} + \frac{9}{20}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 20:
$P_{общ} = \frac{3 \times 2}{10 \times 2} + \frac{9}{20} = \frac{6}{20} + \frac{9}{20} = \frac{15}{20}$.
Сократим полученную дробь на 5:
$P_{общ} = \frac{15 \div 5}{20 \div 5} = \frac{3}{4}$ часть котлована в час.

4. Рассчитаем время, за которое оба насоса откачают воду вместе.

Чтобы найти общее время, нужно весь объем работы (1) разделить на общую производительность.
Общее время: $T_{общ} = 1 \div P_{общ} = 1 \div \frac{3}{4} = 1 \times \frac{4}{3} = \frac{4}{3}$ часа.
Представим результат в виде смешанного числа:
$T_{общ} = 1 \frac{1}{3}$ часа.

Ответ: оба насоса, работая одновременно, откачают воду за $1 \frac{1}{3}$ часа.