Номер 3, страница 180 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

3. Какую цифру вместо звёздочки надо поставить в запись $*3517$, чтобы получилось число, кратное 9?

Для решения этой задачи воспользуемся признаком делимости на 9. Число делится на 9 без остатка в том и только в том случае, если сумма его цифр делится на 9.

Обозначим неизвестную цифру, стоящую на месте звёздочки, как $x$. Запись *3 517 представляет собой пятизначное число $x3517$.

Найдём сумму известных цифр этого числа:

$3 + 5 + 1 + 7 = 16$

Теперь добавим к этой сумме неизвестную цифру $x$. Чтобы число $x3517$ было кратно 9, сумма всех его цифр, то есть $x + 16$, должна делиться на 9. Поскольку $x$ – это первая цифра числа, она не может быть нулём, то есть $x$ может принимать значения от 1 до 9.

Найдём такое значение $x$, при котором выражение $x + 16$ будет кратно 9. Переберём числа, кратные 9, которые больше 16:

• Ближайшее к 16 число, кратное 9, — это 18. Если $x + 16 = 18$, то $x = 18 - 16 = 2$. Цифра 2 удовлетворяет условию ($1 \le 2 \le 9$).
• Следующее число, кратное 9, — это 27. Если $x + 16 = 27$, то $x = 27 - 16 = 11$. Это значение не является цифрой, поэтому оно нам не подходит.

Таким образом, единственная подходящая цифра — это 2. Проверим: подставим 2 вместо звёздочки. Получим число 23 517. Сумма его цифр равна $2 + 3 + 5 + 1 + 7 = 18$. Так как 18 делится на 9, то и число 23 517 делится на 9.

Ответ: 2