Номер 10, страница 182 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

10. a) Среднее арифметическое трёх чисел равно $10\frac{2}{3}$. Первое число в 3 раза больше второго, а второе — в 2 раза меньше третьего. Найдите эти числа.

б) Среднее арифметическое трёх чисел равно $9\frac{6}{7}$. Первое число в 5 раз больше второго, а второе — в 3 раза меньше третьего. Найдите эти числа.

а)

Пусть второе число равно $x$.
Согласно условию, первое число в 3 раза больше второго, значит, первое число равно $3x$.
Второе число в 2 раза меньше третьего, это означает, что третье число в 2 раза больше второго, то есть оно равно $2x$.

Среднее арифметическое трёх чисел — это их сумма, делённая на 3. Запишем уравнение:
$\frac{3x + x + 2x}{3} = 10\frac{2}{3}$

Упростим левую часть и переведём смешанное число в неправильную дробь:
$\frac{6x}{3} = \frac{10 \cdot 3 + 2}{3}$
$2x = \frac{32}{3}$

Теперь найдём $x$:
$x = \frac{32}{3} \div 2$
$x = \frac{32}{3 \cdot 2}$
$x = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3}$

Итак, второе число равно $5\frac{1}{3}$.
Теперь найдём остальные числа:
Первое число: $3x = 3 \cdot \frac{16}{3} = 16$.
Третье число: $2x = 2 \cdot \frac{16}{3} = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3}$.

Проверим: среднее арифметическое найденных чисел равно $(\frac{16 + 5\frac{1}{3} + 10\frac{2}{3}}{3}) = (\frac{16 + \frac{16}{3} + \frac{32}{3}}{3}) = (\frac{\frac{48}{3} + \frac{16}{3} + \frac{32}{3}}{3}) = (\frac{\frac{96}{3}}{3}) = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3}$. Условие выполняется.

Ответ: первое число — 16, второе число — $5\frac{1}{3}$, третье число — $10\frac{2}{3}$.

б)

Пусть второе число равно $y$.
Согласно условию, первое число в 5 раз больше второго, значит, первое число равно $5y$.
Второе число в 3 раза меньше третьего, значит, третье число в 3 раза больше второго, то есть оно равно $3y$.

Составим уравнение, исходя из определения среднего арифметического:
$\frac{5y + y + 3y}{3} = 9\frac{6}{7}$

Упростим левую часть и переведём смешанное число в неправильную дробь:
$\frac{9y}{3} = \frac{9 \cdot 7 + 6}{7}$
$3y = \frac{69}{7}$

Теперь найдём $y$:
$y = \frac{69}{7} \div 3$
$y = \frac{69}{7 \cdot 3}$
$y = \frac{23}{7} = 3\frac{2}{7}$

Итак, второе число равно $3\frac{2}{7}$.
Теперь найдём остальные числа:
Первое число: $5y = 5 \cdot \frac{23}{7} = \frac{115}{7} = 16\frac{3}{7}$.
Третье число: $3y = 3 \cdot \frac{23}{7} = \frac{69}{7} = 9\frac{6}{7}$.

Проверим: среднее арифметическое найденных чисел равно $(\frac{16\frac{3}{7} + 3\frac{2}{7} + 9\frac{6}{7}}{3}) = (\frac{\frac{115}{7} + \frac{23}{7} + \frac{69}{7}}{3}) = (\frac{\frac{207}{7}}{3}) = \frac{207}{21} = \frac{69}{7} = 9\frac{6}{7}$. Условие выполняется.

Ответ: первое число — $16\frac{3}{7}$, второе число — $3\frac{2}{7}$, третье число — $9\frac{6}{7}$.