Номер 2, страница 182 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

2. Решите числовой ребус:

а) $КТО + КОТ = ТОК$;

б) $ВАГОН + ВАГОН = СОСТАВ$.

Запишем ребус в виде сложения в столбик:
К Т О
+ К О Т
-------
Т О К
Здесь К, Т, О – это разные цифры, причем К и Т не могут быть нулем, так как они стоят на первом месте в трехзначных числах.

Рассмотрим сложение по разрядам, начиная с разряда единиц. Пусть $p_1$ и $p_2$ – это переносы в следующие разряды (могут быть равны 0 или 1).
1. Разряд единиц: $О + Т = К + 10 \cdot p_1$.
2. Разряд десятков: $Т + О + p_1 = О + 10 \cdot p_2$. Из этого уравнения следует, что $Т + p_1 = 10 \cdot p_2$.
3. Разряд сотен: $К + К + p_2 = Т$.

Из уравнения для разряда десятков ($Т + p_1 = 10 \cdot p_2$) видно, что сумма $Т + p_1$ должна быть кратна 10. Поскольку Т – это цифра от 1 до 9, а $p_1$ – 0 или 1, то $Т + p_1$ может быть максимально равно $9+1=10$. Так как $Т \ne 0$, то $Т + p_1$ не может быть равно 0. Следовательно, $Т + p_1 = 10$. Это возможно только если $Т=9$ и $p_1=1$. Из этого также следует, что $10 = 10 \cdot p_2$, значит, перенос в сотни $p_2=1$.

Теперь мы знаем, что $Т=9$, $p_1=1$ и $p_2=1$.
Подставим $Т=9$ и $p_2=1$ в уравнение для разряда сотен:
$К + К + 1 = 9$
$2К = 8$
$К = 4$

Наконец, подставим известные значения $Т=9$, $К=4$ и $p_1=1$ в уравнение для разряда единиц:
$О + 9 = 4 + 10 \cdot 1$
$О + 9 = 14$
$О = 5$

Итак, мы нашли все цифры: $К=4$, $Т=9$, $О=5$. Все они различны.
Проверим решение: $495 + 459 = 954$. Равенство верное.
Ответ: $495 + 459 = 954$.

Данный ребус можно записать как $2 \cdot ВАГОН = СОСТАВ$.
Поскольку при умножении пятизначного числа (ВАГОН) на 2 получается шестизначное (СОСТАВ), то старшая цифра С в результате может быть только 1. Итак, С = 1.

Запишем пример в столбик, обозначив переносы между разрядами как $p_1, p_2, p_3, p_4, p_5$:
$p_5 p_4 p_3 p_2 p_1$ (переносы)
В А Г О Н
+ В А Г О Н
-------------
С О С Т А В
Подставим $С=1$:
1 О 1 Т А В

Это можно представить в виде системы уравнений:
1) $2 \cdot Н = В + 10 \cdot p_1$
2) $2 \cdot О + p_1 = А + 10 \cdot p_2$
3) $2 \cdot Г + p_2 = Т + 10 \cdot p_3$
4) $2 \cdot А + p_3 = С + 10 \cdot p_4 = 1 + 10 \cdot p_4$
5) $2 \cdot В + p_4 = О + 10 \cdot p_5$
6) $p_5 = С = 1$

Подставим $p_5=1$ в уравнение (5): $2В + p_4 = О + 10$.
Из уравнения (4), так как $А \le 9$ и $p_3 \le 1$, то $2А+p_3 \le 19$. Значит, $1+10p_4$ может быть равно 1 ($p_4=0$) или 11 ($p_4=1$).
- Вариант 1: $2А+p_3 = 1$. Это возможно только если $А=0$ и $p_3=1$. Тогда $p_4=0$.
Подставим $p_4=0$ в уравнение (5): $2В = О+10$. Так как В - последняя цифра в $2Н$, В должно быть четным. Возможные значения для В: 6 или 8 ($В \ge 5$, так как есть перенос $p_5=1$). Если $В=6$, то $О=2$. Если $В=8$, то $О=6$. Проверим уравнение (2): $2О+p_1 = А+10p_2 = 10p_2$. Если $О=2$ (и $В=6$), то $4+p_1=10p_2$. Это невозможно, т.к. $p_1$ равно 0 или 1, а левая часть (4 или 5) не кратна 10. Если $О=6$ (и $В=8$), то $12+p_1=10p_2$. Это также невозможно, так как $12+p_1$ равно 12 или 13, что не кратно 10. Следовательно, вариант $А=0$ не подходит.

- Вариант 2: $2А+p_3 = 11$. Это возможно только если $А=5$ и $p_3=1$. Тогда $p_4=1$.
Подставим $p_4=1$ в уравнение (5): $2В+1 = О+10 \implies 2В = О+9$.
Так как В - четное ($В \in \{6, 8\}$, так как $В \ne А=5$ и $В \ne C=1$), проверим эти значения:
Если $В=6$, то $12 = О+9 \implies О=3$. Проверим (2): $2О+p_1=А+10p_2 \implies 2 \cdot 3+p_1=5+10p_2 \implies 6+p_1=5+10p_2$. Это невозможно, т.к. $p_1$ (0 или 1) не может сделать равенство верным.
Если $В=8$, то $16 = О+9 \implies О=7$. Проверим (2): $2О+p_1=А+10p_2 \implies 2 \cdot 7+p_1=5+10p_2 \implies 14+p_1=5+10p_2$. Чтобы это равенство выполнялось, $14+p_1$ должно оканчиваться на 5. Это возможно при $p_1=1$, тогда $15=5+10p_2 \implies 10=10p_2 \implies p_2=1$. Итак, мы получили: $А=5, В=8, О=7, p_1=1, p_2=1, p_3=1, p_4=1$.

Теперь найдем остальные цифры. Из $p_1=1$ и уравнения (1) $2Н=В+10p_1 \implies 2Н=8+10 \cdot 1=18 \implies$ Н=9.
Используем уравнение (3): $2Г+p_2=Т+10p_3$. Подставляем $p_2=1, p_3=1$: $2Г+1=Т+10 \implies 2Г-9=Т$.
Из оставшихся цифр {0, 2, 3, 4, 6} нужно подобрать пару для Г и Т. Подходит только $Г=6$, тогда $Т=2 \cdot 6 - 9 = 3$. Итак, Г=6 и Т=3.

Собираем все найденные цифры:
В=8, А=5, Г=6, О=7, Н=9
С=1, Т=3
Все цифры {8, 5, 6, 7, 9, 1, 3} различны.
Проверяем: $85679 + 85679 = 171358$.
ВАГОН + ВАГОН = СОСТАВ
$85679 + 85679 = 171358$. Расшифровка верна.
Ответ: $85679 + 85679 = 171358$.