Номер 3, страница 182 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

3. Толя сказал своему другу Пете: «Я придумал пример на деление, в котором делимое, делитель, частное и остаток оканчиваются соответственно на $1, 3, 5, 7$. Подумав, Петя ответил: “Что-то ты путаешь”. Прав ли Петя?

Чтобы определить, прав ли Петя, необходимо проверить, может ли существовать такой пример на деление. Воспользуемся основной формулой деления с остатком:

Делимое = Делитель × Частное + Остаток

Давайте проанализируем это равенство, обращая внимание только на последние цифры каждого из чисел. Последняя цифра результата арифметической операции (сложения или умножения) зависит только от последних цифр чисел, участвующих в этой операции.

Пусть делимое, делитель, частное и остаток обозначаются как $A, B, C$ и $R$ соответственно. Тогда формула выглядит так:

$A = B \cdot C + R$

Согласно условию, которое придумал Толя:

• Последняя цифра делимого ($A$) — это 1.
• Последняя цифра делителя ($B$) — это 3.
• Последняя цифра частного ($C$) — это 5.
• Последняя цифра остатка ($R$) — это 7.

Теперь подставим последние цифры в правую часть равенства ($B \cdot C + R$) и посмотрим, какая последняя цифра получится у результата.

1. Найдем последнюю цифру произведения $B \cdot C$. Она равна последней цифре произведения их последних цифр: $3 \times 5 = 15$. Таким образом, число $B \cdot C$ оканчивается на 5.

2. Теперь найдем последнюю цифру суммы ($B \cdot C) + R$. Нам известно, что $B \cdot C$ оканчивается на 5, а остаток $R$ оканчивается на 7. Последняя цифра их суммы будет равна последней цифре суммы $5 + 7 = 12$. Значит, выражение ($B \cdot C + R$) оканчивается на 2.

Из равенства $A = B \cdot C + R$ следует, что последняя цифра делимого $A$ должна быть такой же, как и последняя цифра выражения $B \cdot C + R$. Мы выяснили, что это цифра 2.

Однако по условию Толи, делимое должно оканчиваться на 1. Возникает противоречие: последняя цифра делимого должна быть 2, а по условию она 1. Такое невозможно.

Следовательно, пример на деление с такими условиями составить нельзя, и Толя действительно что-то путает. Петя оказался прав.

Ответ: Петя прав.