Номер 5, страница 183 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

5. Сравните значения выражений, не выполняя сложения:

$\frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{4}{5}$ и $\frac{5}{6} + \frac{7}{8} + \frac{8}{9}$.

Чтобы сравнить значения выражений $\frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{4}{5}$ и $\frac{5}{6} + \frac{7}{8} + \frac{8}{9}$, не выполняя сложения, можно представить каждую дробь в виде разности единицы и некоторой другой дроби.

Рассмотрим первое выражение: $\frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{4}{5}$.
Представим каждое слагаемое в виде $1 - x$:
$\frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2}$
$\frac{2}{3} = 1 - \frac{1}{3}$
$\frac{4}{5} = 1 - \frac{1}{5}$
Следовательно, сумма равна:
$(1 - \frac{1}{2}) + (1 - \frac{1}{3}) + (1 - \frac{1}{5}) = 3 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5})$.

Теперь рассмотрим второе выражение: $\frac{5}{6} + \frac{7}{8} + \frac{8}{9}$.
Аналогично представим его слагаемые:
$\frac{5}{6} = 1 - \frac{1}{6}$
$\frac{7}{8} = 1 - \frac{1}{8}$
$\frac{8}{9} = 1 - \frac{1}{9}$
Следовательно, вторая сумма равна:
$(1 - \frac{1}{6}) + (1 - \frac{1}{8}) + (1 - \frac{1}{9}) = 3 - (\frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9})$.

Теперь задача сводится к сравнению двух разностей: $3 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5})$ и $3 - (\frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9})$.
Чтобы их сравнить, нужно сравнить вычитаемые, то есть суммы в скобках. Сравним слагаемые этих сумм попарно. Для дробей с одинаковым числителем (в данном случае 1) большей является та, у которой знаменатель меньше.
$\frac{1}{2} > \frac{1}{6}$
$\frac{1}{3} > \frac{1}{8}$
$\frac{1}{5} > \frac{1}{9}$
Поскольку каждое слагаемое в первой скобке больше соответствующего слагаемого во второй, то и вся первая сумма больше второй:
$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} > \frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9}$.

Мы вычитаем из одного и того же числа (3) две разные величины. Чем больше вычитаемое, тем меньше получается результат. Так как вычитаемое $(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5})$ больше, чем вычитаемое $(\frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9})$, то значение первого выражения будет меньше.

Следовательно, $\frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{4}{5} < \frac{5}{6} + \frac{7}{8} + \frac{8}{9}$.

Ответ: Значение выражения $\frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{4}{5}$ меньше значения выражения $\frac{5}{6} + \frac{7}{8} + \frac{8}{9}$.