Номер 6, страница 183 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

6. Упростите дробь удобным способом:

$ \frac{1+2+3+4+5+6+7+8+9+10}{10+11+12+13+14+15+16+17+18+19} $

Для упрощения данной дроби воспользуемся удобным способом, который заключается в нахождении связи между числителем и знаменателем, а не в прямом вычислении каждой суммы по отдельности.

Исходная дробь:

$$ \frac{1+2+3+4+5+6+7+8+9+10}{10+11+12+13+14+15+16+17+18+19} $$

Шаг 1: Установление связи между числителем и знаменателем

Заметим, что каждое слагаемое в знаменателе ровно на 9 больше соответствующего ему по порядку слагаемого в числителе. Всего в каждой сумме по 10 слагаемых.

$10 = 1+9$
$11 = 2+9$
$12 = 3+9$
...
$19 = 10+9$

Исходя из этого, всю сумму в знаменателе можно представить в виде суммы числителя и десяти девяток:

Знаменатель = $(1+2+3+...+10) + (9 \times 10)$ = (Сумма в числителе) + 90.

Шаг 2: Вычисление суммы в числителе

Теперь нам нужно найти только сумму чисел в числителе. Это сумма арифметической прогрессии от 1 до 10. Обозначим эту сумму как $S$.

Для вычисления воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$, где $n$ — количество членов, $a_1$ — первый член, $a_n$ — последний член.

$S = 1+2+...+10 = \frac{10 \times (1+10)}{2} = \frac{10 \times 11}{2} = 55$.

Шаг 3: Подстановка значений и упрощение дроби

Теперь, когда мы знаем, что числитель равен $S=55$, а знаменатель равен $S + 90$, мы можем записать нашу дробь:

$$ \frac{S}{S + 90} = \frac{55}{55 + 90} = \frac{55}{145} $$

Осталось сократить полученную дробь. Числитель и знаменатель оканчиваются на 5, значит, они делятся на 5.

$$ \frac{55 \div 5}{145 \div 5} = \frac{11}{29} $$

Так как числа 11 и 29 являются простыми, дробь дальше не сокращается.

Ответ: $\frac{11}{29}$