Номер 122, страница 110 - гдз по математике 6 класс учебник Герасимов, Пирютко

122. Какое число следует взять в качестве четвёртого к трём данным числам, чтобы из них можно было составить пропорцию? Сколько решений можно найти:

а) 3; 5; 10;

б) 2; 8; 0,2;

в) 6; 6; 12;

г) $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{10}$; 20?

Для того чтобы найти четвёртое число $x$, которое образует пропорцию с тремя данными числами $a, b, c$, можно использовать основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Это приводит к трём возможным случаям, в зависимости от расстановки чисел:

1. Произведение двух данных чисел равно произведению третьего и $x$: $a \cdot x = b \cdot c \implies x = \frac{b \cdot c}{a}$

2. $b \cdot x = a \cdot c \implies x = \frac{a \cdot c}{b}$

3. $c \cdot x = a \cdot b \implies x = \frac{a \cdot b}{c}$

Если какие-либо из вычисленных значений $x$ совпадут, то количество различных решений будет меньше трёх.

Для чисел $3, 5, 10$ найдём все возможные значения $x$:

$x_1 = \frac{5 \cdot 10}{3} = \frac{50}{3} = 16\frac{2}{3}$

$x_2 = \frac{3 \cdot 10}{5} = \frac{30}{5} = 6$

$x_3 = \frac{3 \cdot 5}{10} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$

Все три найденных значения различны. Ответ: в качестве четвёртого числа можно взять $16\frac{2}{3}$, $6$ или $1\frac{1}{2}$. Всего можно найти 3 решения.

Для чисел $2, 8, 0,2$ найдём все возможные значения $x$:

$x_1 = \frac{8 \cdot 0,2}{2} = \frac{1,6}{2} = 0,8$

$x_2 = \frac{2 \cdot 0,2}{8} = \frac{0,4}{8} = 0,05$

$x_3 = \frac{2 \cdot 8}{0,2} = \frac{16}{0,2} = 80$

Все три найденных значения различны. Ответ: в качестве четвёртого числа можно взять $0,8$, $0,05$ или $80$. Всего можно найти 3 решения.

Для чисел $6, 6, 12$ найдём все возможные значения $x$:

$x_1 = \frac{6 \cdot 12}{6} = 12$

$x_2 = \frac{6 \cdot 12}{6} = 12$

$x_3 = \frac{6 \cdot 6}{12} = \frac{36}{12} = 3$

Так как два значения совпали ($x_1=x_2=12$), существует только два различных решения. Ответ: в качестве четвёртого числа можно взять $12$ или $3$. Всего можно найти 2 решения.

Для чисел $\frac{1}{2}, \frac{1}{10}, 20$ найдём все возможные значения $x$:

$x_1 = \frac{\frac{1}{10} \cdot 20}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot 2 = 4$

$x_2 = \frac{\frac{1}{2} \cdot 20}{\frac{1}{10}} = \frac{10}{\frac{1}{10}} = 10 \cdot 10 = 100$

$x_3 = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10}}{20} = \frac{\frac{1}{20}}{20} = \frac{1}{400}$

Все три найденных значения различны. Ответ: в качестве четвёртого числа можно взять $4$, $100$ или $\frac{1}{400}$. Всего можно найти 3 решения.