Номер 14, страница 37 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

14. Решите уравнение, используя свойство пропорции:

а) $\frac{7,4}{12} = \frac{11,1}{x}$;

б) $27 : x = 1,8 : 3,6$;

в) $5,8 : 8,7 = x : 12$;

г) $\frac{4}{7} : 3\frac{3}{7} = 0,7 : x$.

а) $\frac{7,4}{12} = \frac{11,1}{x}$

Данное уравнение является пропорцией. Согласно основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних членов. В данном случае крайние члены — это 7,4 и x, а средние члены — 12 и 11,1.

Составим уравнение:

$7,4 \cdot x = 12 \cdot 11,1$

Чтобы найти x, разделим произведение средних членов на известный крайний член:

$x = \frac{12 \cdot 11,1}{7,4}$

Для удобства вычислений избавимся от десятичных дробей, умножив числитель и знаменатель на 10:

$x = \frac{12 \cdot 111}{74}$

Теперь сократим дробь. Разделим 12 и 74 на 2:

$x = \frac{6 \cdot 111}{37}$

Так как $111 = 3 \cdot 37$, мы можем сократить дробь на 37:

$x = 6 \cdot 3$

$x = 18$

Ответ: $\mathbf{18}$

б) $27 : x = 1,8 : 3,6$

Запишем данную пропорцию в виде равенства дробей:

$\frac{27}{x} = \frac{1,8}{3,6}$

Применим основное свойство пропорции (перекрестное умножение):

$27 \cdot 3,6 = x \cdot 1,8$

Выразим неизвестный член x:

$x = \frac{27 \cdot 3,6}{1,8}$

Можно заметить, что $3,6$ в два раза больше, чем $1,8$. Сократим дробь:

$\frac{3,6}{1,8} = 2$

Тогда вычисление упрощается:

$x = 27 \cdot 2$

$x = 54$

Ответ: $\mathbf{54}$

в) $5,8 : 8,7 = x : 12$

Запишем пропорцию как равенство дробей:

$\frac{5,8}{8,7} = \frac{x}{12}$

Используем основное свойство пропорции:

$5,8 \cdot 12 = 8,7 \cdot x$

Выразим x:

$x = \frac{5,8 \cdot 12}{8,7}$

Умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы работать с целыми числами:

$x = \frac{58 \cdot 12}{87}$

Разложим числа 58 и 87 на множители: $58 = 2 \cdot 29$ и $87 = 3 \cdot 29$.

$x = \frac{2 \cdot 29 \cdot 12}{3 \cdot 29}$

Сократим общий множитель 29:

$x = \frac{2 \cdot 12}{3}$

$x = \frac{24}{3}$

$x = 8$

Ответ: $\mathbf{8}$

г) $\frac{4}{7} : 3\frac{3}{7} = 0,7 : x$

Сначала преобразуем смешанное число и десятичную дробь в обыкновенные дроби для удобства вычислений.

Преобразование смешанного числа: $3\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{24}{7}$

Преобразование десятичной дроби: $0,7 = \frac{7}{10}$

Теперь пропорция имеет вид:

$\frac{4}{7} : \frac{24}{7} = \frac{7}{10} : x$

Применяем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$\frac{4}{7} \cdot x = \frac{24}{7} \cdot \frac{7}{10}$

Упростим правую часть уравнения, сократив на 7:

$\frac{24}{7} \cdot \frac{7}{10} = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$

Уравнение принимает вид:

$\frac{4}{7} \cdot x = \frac{12}{5}$

Найдем x, разделив правую часть на коэффициент при x:

$x = \frac{12}{5} : \frac{4}{7}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$x = \frac{12}{5} \cdot \frac{7}{4}$

Сократим 12 и 4 на 4:

$x = \frac{3 \cdot 7}{5} = \frac{21}{5}$

Полученный результат — неправильная дробь. Выделим из нее целую часть:

$\frac{21}{5} = 4\frac{1}{5}$

Ответ: $\mathbf{4}\frac{1}{5}$