Номер 1, страница 38 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

1. Является ли зависимость между величинами пропорциональной? Если да, то какого вида эта зависимость:

а) между количеством купленного товара и стоимостью покупки (при фиксированной цене одной единицы товара — 1 штуки или 1 кг и т. д.);

б) между количеством учащихся в классе и количеством отметок 9 и 10 за контрольную работу по математике;

в) между скоростью и количеством времени при одинаковой длине пути;

г) между пройденным путём и затраченным на этот путь временем (при постоянной скорости);

д) между количеством рабочих и количеством времени при определённом объёме работ;

е) между номером школы и количеством учащихся в этой школе;

ж) между объёмом какого-либо тела и его массой;

з) между длиной и шириной прямоугольника при постоянной площади прямоугольника?

Проанализируем каждую зависимость, чтобы определить, является ли она пропорциональной, и если да, то какого она вида (прямая или обратная).

• Прямая пропорциональность — это зависимость, при которой с увеличением одной величины в несколько раз, другая величина увеличивается во столько же раз. Математически это выражается формулой $y = kx$, где $k$ — постоянный коэффициент.
• Обратная пропорциональность — это зависимость, при которой с увеличением одной величины в несколько раз, другая величина уменьшается во столько же раз. Математически это выражается формулой $y = k/x$, где $k$ — постоянный коэффициент.

а) между количеством купленного товара и стоимостью покупки (при фиксированной цене одной единицы товара — 1 штуки или 1 кг и т. д.);

Пусть $C$ — стоимость покупки, $n$ — количество товара, а $p$ — фиксированная цена за единицу товара. Связь между этими величинами выражается формулой $C = p \cdot n$. Поскольку цена $p$ является постоянной величиной (коэффициентом пропорциональности), то при увеличении количества товара $n$ в несколько раз, стоимость $C$ увеличится во столько же раз. Например, если купить в 2 раза больше товара, то и заплатить придется в 2 раза больше. Это прямая пропорциональность.

Ответ: Да, это прямая пропорциональная зависимость.

б) между количеством учащихся в классе и количеством отметок 9 и 10 за контрольную работу по математике;

Между этими величинами нет строгой математической зависимости. В классе из 30 человек может быть 5 отличных отметок, а в классе из 20 человек — 10. Количество хороших отметок зависит от уровня подготовки учеников, сложности работы и других факторов, а не напрямую от общего числа учеников в классе. Следовательно, эта зависимость не является пропорциональной.

Ответ: Нет, эта зависимость не является пропорциональной.

в) между скоростью и количеством времени при одинаковой длине пути;

Пусть $S$ — одинаковая длина пути, $v$ — скорость, а $t$ — время. Связь между ними описывается формулой $S = v \cdot t$. Если путь $S$ — постоянная величина, то зависимость можно выразить как $v = S/t$ или $t = S/v$. В этом случае, если увеличить скорость $v$ в несколько раз, то время $t$, необходимое для преодоления того же пути, уменьшится во столько же раз. Например, чтобы проехать то же расстояние, автомобилю со скоростью 100 км/ч потребуется в 2 раза меньше времени, чем автомобилю со скоростью 50 км/ч. Это обратная пропорциональность.

Ответ: Да, это обратная пропорциональная зависимость.

г) между пройденным путём и затраченным на этот путь временем (при постоянной скорости);

Пусть $S$ — пройденный путь, $t$ — время, а $v$ — постоянная скорость. Формула, связывающая их: $S = v \cdot t$. Так как скорость $v$ постоянна, она выступает в роли коэффициента пропорциональности. Если увеличить время движения $t$ в несколько раз, то и пройденный путь $S$ увеличится во столько же раз. Например, за 2 часа при постоянной скорости будет пройдено в 2 раза большее расстояние, чем за 1 час. Это прямая пропорциональность.

Ответ: Да, это прямая пропорциональная зависимость.

д) между количеством рабочих и количеством времени при определённом объёме работ;

Пусть $A$ — определённый объём работ, $N$ — количество рабочих, а $t$ — время, необходимое для выполнения работы (при условии, что все рабочие имеют одинаковую производительность). Общий объём работы можно представить как $A = N \cdot t \cdot p$, где $p$ — производительность одного рабочего. Так как $A$ и $p$ — постоянные величины, то произведение $N \cdot t$ также является постоянной величиной ($N \cdot t = A/p = \text{const}$). Если увеличить количество рабочих $N$ в несколько раз, то время $t$, необходимое для выполнения того же объёма работ, уменьшится во столько же раз. Например, 4 рабочих выполнят работу в 2 раза быстрее, чем 2 рабочих. Это обратная пропорциональность.

Ответ: Да, это обратная пропорциональная зависимость.

е) между номером школы и количеством учащихся в этой школе;

Номер школы — это просто её идентификатор, порядковый номер или уникальный код. Он не несет никакой математической информации о количестве учащихся. Школа №1 может быть меньше, чем школа №100, или наоборот. Между этими двумя величинами нет никакой функциональной, а тем более пропорциональной зависимости.

Ответ: Нет, эта зависимость не является пропорциональной.

ж) между объёмом какого-либо тела и его массой;

Масса $m$ тела связана с его объёмом $V$ через плотность вещества $\rho$ по формуле $m = \rho \cdot V$. Для однородного тела (состоящего из одного вещества, например, воды или железа) плотность $\rho$ является постоянной величиной. В этом случае масса прямо пропорциональна объёму. Если взять вдвое больший объём того же вещества, его масса также будет вдвое больше. Это прямая пропорциональность.

Ответ: Да, это прямая пропорциональная зависимость (для однородного тела).

з) между длиной и шириной прямоугольника при постоянной площади прямоугольника?

Пусть $S$ — постоянная площадь прямоугольника, $a$ — его длина, $b$ — его ширина. Площадь вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. Если площадь $S$ постоянна, то произведение длины и ширины также является постоянной величиной. Если увеличить длину $a$ в несколько раз, то для сохранения той же площади ширину $b$ придётся уменьшить во столько же раз. Например, у прямоугольника площадью 24 см² могут быть стороны 6 см и 4 см. Если мы увеличим длину до 12 см (в 2 раза), то ширина должна стать 2 см (уменьшиться в 2 раза), чтобы площадь осталась 24 см². Это обратная пропорциональность.

Ответ: Да, это обратная пропорциональная зависимость.