Номер 10, страница 64 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

10. Запишите все подмножества данного множества, содержащие три элемента:

а) $L = \{l, m, n, p\}$;

б) $K = \{1, 3, 5, 7, 9\}$.

Для решения этой задачи необходимо найти все возможные подмножества, состоящие из трех элементов, для каждого из данных множеств. Это задача на нахождение сочетаний, так как порядок элементов в подмножестве не имеет значения.

а) Дано множество $L = \{l, m, n, p\}$. В этом множестве 4 элемента. Нам нужно найти все подмножества, содержащие ровно 3 элемента. Количество таких подмножеств определяется числом сочетаний из 4 по 3, которое обозначается как $C_4^3$.
Формула для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
В нашем случае $n=4$, $k=3$:$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 1} = 4$.
Таким образом, существует 4 таких подмножества. Чтобы их найти, мы можем поочередно исключать по одному элементу из исходного множества:

• Исключаем элемент $p$: $\{l, m, n\}$
• Исключаем элемент $n$: $\{l, m, p\}$
• Исключаем элемент $m$: $\{l, n, p\}$
• Исключаем элемент $l$: $\{m, n, p\}$

Ответ: $\{l, m, n\}, \{l, m, p\}, \{l, n, p\}, \{m, n, p\}$.

б) Дано множество $K = \{1, 3, 5, 7, 9\}$. В этом множестве 5 элементов. Нам нужно найти все подмножества, содержащие ровно 3 элемента. Количество таких подмножеств определяется числом сочетаний из 5 по 3, то есть $C_5^3$.
В нашем случае $n=5$, $k=3$:$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$.
Таким образом, существует 10 таких подмножеств. Перечислим их все:

• $\{1, 3, 5\}$
• $\{1, 3, 7\}$
• $\{1, 3, 9\}$
• $\{1, 5, 7\}$
• $\{1, 5, 9\}$
• $\{1, 7, 9\}$
• $\{3, 5, 7\}$
• $\{3, 5, 9\}$
• $\{3, 7, 9\}$
• $\{5, 7, 9\}$

Ответ: $\{1, 3, 5\}, \{1, 3, 7\}, \{1, 3, 9\}, \{1, 5, 7\}, \{1, 5, 9\}, \{1, 7, 9\}, \{3, 5, 7\}, \{3, 5, 9\}, \{3, 7, 9\}, \{5, 7, 9\}$.