Номер 14, страница 65 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

14. Запишите множество двузначных чисел, в записи которых используются только цифры 1, 6, 9. Составьте все подмножества полученного множества.

Запишите множество двузначных чисел, в записи которых используются только цифры 1, 6, 9.

Для составления двузначных чисел из цифр 1, 6 и 9 необходимо рассмотреть все возможные комбинации для разряда десятков и разряда единиц.

• В качестве цифры для разряда десятков можно выбрать любую из трех данных цифр: 1, 6 или 9 (3 варианта).
• В качестве цифры для разряда единиц также можно выбрать любую из этих трех цифр (3 варианта).

Поскольку выбор цифры для каждого разряда независим, общее количество таких чисел равно произведению числа вариантов для каждого разряда: $3 \times 3 = 9$.

Перечислим все возможные числа, систематически перебирая варианты:

• Если первая цифра 1: 11, 16, 19
• Если первая цифра 6: 61, 66, 69
• Если первая цифра 9: 91, 96, 99

Обозначим полученное множество как $M$.
Ответ: $M = \{11, 16, 19, 61, 66, 69, 91, 96, 99\}$.

Составьте все подмножества полученного множества.

Полученное множество $M$ содержит 9 элементов. Число всех подмножеств (так называемый булеан) множества, состоящего из $n$ элементов, вычисляется по формуле $2^n$. В нашем случае $n=9$, следовательно, общее количество подмножеств равно $2^9 = 512$.

Полный список всех 512 подмножеств будет чрезвычайно большим. Поэтому представим структуру этого набора, сгруппировав подмножества по количеству элементов в них (мощности) и приведя примеры.

• Подмножества из 0 элементов (пустое множество):
  Существует только одно такое подмножество. Это пустое множество, обозначаемое $\emptyset$.
  Количество: $\binom{9}{0} = 1$.
• Подмножества из 1 элемента:
  Каждое такое подмножество содержит ровно один элемент из множества $M$.
  Примеры: $\{11\}, \{16\}, \{19\}, \dots, \{99\}$.
  Количество: $\binom{9}{1} = 9$.
• Подмножества из 2 элементов:
  Каждое подмножество содержит уникальную пару элементов из $M$.
  Примеры: $\{11, 16\}, \{11, 19\}, \dots, \{96, 99\}$.
  Количество: $\binom{9}{2} = \frac{9 \times 8}{2} = 36$.
• Подмножества из 3 элементов:
  Примеры: $\{11, 16, 19\}, \{61, 66, 91\}, \dots, \{91, 96, 99\}$.
  Количество: $\binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$.
• Подмножества из 4 элементов:
  Примеры: $\{11, 16, 19, 61\}, \dots, \{69, 91, 96, 99\}$.
  Количество: $\binom{9}{4} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$.
• Подмножества из 5 элементов:
  Количество таких подмножеств равно количеству подмножеств из 4 элементов: $\binom{9}{5} = \binom{9}{4} = 126$.
• Подмножества из 6 элементов:
  Количество: $\binom{9}{6} = \binom{9}{3} = 84$.
• Подмножества из 7 элементов:
  Количество: $\binom{9}{7} = \binom{9}{2} = 36$.
• Подмножества из 8 элементов:
  Каждое такое подмножество получается удалением одного элемента из исходного множества $M$.
  Примеры: $\{16, 19, 61, 66, 69, 91, 96, 99\}$ (без элемента 11), $\{11, 19, 61, 66, 69, 91, 96, 99\}$ (без элемента 16) и так далее.
  Количество: $\binom{9}{8} = 9$.
• Подмножество из 9 элементов:
  Существует только одно такое подмножество — само множество $M$.
  $\{11, 16, 19, 61, 66, 69, 91, 96, 99\}$.
  Количество: $\binom{9}{9} = 1$.

Проверка общего количества: $1 + 9 + 36 + 84 + 126 + 126 + 84 + 36 + 9 + 1 = 512$.
Ответ: Совокупность всех подмножеств множества $M$ состоит из 512 подмножеств, которые включают: пустое множество ($\emptyset$), 9 одноэлементных подмножеств, 36 двухэлементных, 84 трехэлементных, 126 четырехэлементных, 126 пятиэлементных, 84 шестиэлементных, 36 семиэлементных, 9 восьмиэлементных и само исходное множество $M$.