Номер 8, страница 158 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

8. Один из углов треугольника равен $60^\circ$. Каким должен быть ещё один его угол, чтобы треугольник был:

а) остроугольным;

б) прямоугольным;

в) тупоугольным?

Пусть углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Сумма углов в треугольнике всегда составляет $180^{\circ}$.

$\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}$

По условию, один из углов равен $60^{\circ}$. Пусть $\alpha = 60^{\circ}$. Тогда:

$60^{\circ} + \beta + \gamma = 180^{\circ}$

$\beta + \gamma = 120^{\circ}$

Отсюда третий угол $\gamma$ можно выразить через второй угол $\beta$: $\gamma = 120^{\circ} - \beta$.

Для существования треугольника все его углы должны быть положительными, то есть $\beta > 0^{\circ}$ и $\gamma > 0^{\circ}$. Условие $\gamma > 0$ означает $120^{\circ} - \beta > 0$, что равносильно $\beta < 120^{\circ}$. Итак, второй угол $\beta$ должен быть в пределах от $0^{\circ}$ до $120^{\circ}$.

а) остроугольным;

В остроугольном треугольнике все углы должны быть меньше $90^{\circ}$.

• Угол $\alpha = 60^{\circ}$ уже является острым.
• Второй угол $\beta$ должен быть острым: $\beta < 90^{\circ}$.
• Третий угол $\gamma$ также должен быть острым: $\gamma < 90^{\circ}$.

Подставим выражение для $\gamma$ в последнее неравенство:

$120^{\circ} - \beta < 90^{\circ}$

$120^{\circ} - 90^{\circ} < \beta$

$30^{\circ} < \beta$

Таким образом, для того чтобы треугольник был остроугольным, второй угол $\beta$ должен удовлетворять двум условиям: $\beta < 90^{\circ}$ и $\beta > 30^{\circ}$.
Ответ: Другой угол должен быть в интервале от $30^{\circ}$ до $90^{\circ}$, то есть $30^{\circ} < \beta < 90^{\circ}$.

б) прямоугольным;

В прямоугольном треугольнике один из углов равен $90^{\circ}$. Так как угол $\alpha=60^{\circ}$, то прямым должен быть либо угол $\beta$, либо угол $\gamma$.

• Случай 1: $\beta = 90^{\circ}$.
  Тогда $\gamma = 120^{\circ} - 90^{\circ} = 30^{\circ}$. Углы треугольника: $60^{\circ}, 90^{\circ}, 30^{\circ}$. Это прямоугольный треугольник.
• Случай 2: $\gamma = 90^{\circ}$.
  Тогда $120^{\circ} - \beta = 90^{\circ}$, откуда $\beta = 30^{\circ}$. Углы треугольника: $60^{\circ}, 30^{\circ}, 90^{\circ}$. Это тот же самый треугольник.

Следовательно, второй угол может быть как $90^{\circ}$, так и $30^{\circ}$.
Ответ: Другой угол должен быть равен $30^{\circ}$ или $90^{\circ}$.

в) тупоугольным?

В тупоугольном треугольнике один из углов больше $90^{\circ}$. Так как $\alpha=60^{\circ}$, то тупым должен быть либо $\beta$, либо $\gamma$.

• Случай 1: Угол $\beta$ — тупой, то есть $\beta > 90^{\circ}$.
  Учитывая, что $\beta < 120^{\circ}$, получаем, что $\beta$ должен находиться в интервале $(90^{\circ}, 120^{\circ})$. В этом случае $\gamma = 120^{\circ} - \beta$ будет острым (от $0^{\circ}$ до $30^{\circ}$).
• Случай 2: Угол $\gamma$ — тупой, то есть $\gamma > 90^{\circ}$.
  $120^{\circ} - \beta > 90^{\circ}$
  $30^{\circ} > \beta$
  Учитывая, что $\beta > 0^{\circ}$, получаем, что $\beta$ должен находиться в интервале $(0^{\circ}, 30^{\circ})$. В этом случае $\beta$ будет острым.

Таким образом, чтобы треугольник был тупоугольным, второй угол должен быть либо в интервале $(0^{\circ}, 30^{\circ})$, либо в интервале $(90^{\circ}, 120^{\circ})$.
Ответ: Другой угол должен быть больше $0^{\circ}$ и меньше $30^{\circ}$ или больше $90^{\circ}$ и меньше $120^{\circ}$.