Номер 9, страница 158 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

9. Один из углов треугольника равен $55^{\circ}$. Каким должен быть ещё один его угол, чтобы треугольник не был:

а) остроугольным;

б) прямоугольным;

в) тупоугольным?

Для решения задачи воспользуемся свойством суммы углов треугольника: сумма всех внутренних углов любого треугольника равна $180°$.

Пусть углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. По условию, один из углов равен $55°$. Пусть $\alpha = 55°$.

Тогда для двух других углов верно соотношение:

$\beta + \gamma = 180° - 55° = 125°$.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Треугольник не является остроугольным, если он прямоугольный или тупоугольный. Это означает, что один из его углов должен быть равен или больше $90°$.

Так как данный угол $55°$ является острым, то один из двух других углов, $\beta$ или $\gamma$, должен быть не меньше $90°$.

Пусть $\beta \ge 90°$. Поскольку $\beta + \gamma = 125°$ и $\gamma$ должен быть положительным углом ($\gamma > 0°$), то угол $\beta$ должен быть меньше $125°$.

Таким образом, чтобы треугольник не был остроугольным, второй угол $\beta$ должен принадлежать промежутку $[90°, 125°)$.

Например, выберем $\beta = 90°$. Тогда третий угол $\gamma = 125° - 90° = 35°$. Треугольник с углами $55°, 90°, 35°$ является прямоугольным, следовательно, он не остроугольный.

Ответ: например, 90°.

Треугольник не является прямоугольным, если ни один из его углов не равен $90°$.

Выясним, при каких значениях второго угла $\beta$ треугольник будет прямоугольным. Это произойдет, если один из углов $\beta$ или $\gamma$ равен $90°$.

• Если $\beta = 90°$, то $\gamma = 125° - 90° = 35°$.
• Если $\gamma = 90°$, то $\beta = 125° - 90° = 35°$.

Следовательно, треугольник является прямоугольным, если один из его углов равен $35°$ или $90°$.

Чтобы треугольник не был прямоугольным, второй угол не должен быть равен ни $35°$, ни $90°$. Он может быть любым другим значением в интервале $(0°, 125°)$.

Например, выберем $\beta = 60°$. Тогда $\gamma = 125° - 60° = 65°$. Треугольник с углами $55°, 60°, 65°$ является остроугольным, а значит, не прямоугольным.

Ответ: например, 60°.

Треугольник не является тупоугольным, если все его углы меньше или равны $90°$.

Данный угол $\alpha = 55°$ уже удовлетворяет этому условию ($\le 90°$). Необходимо, чтобы и два других угла, $\beta$ и $\gamma$, также были не больше $90°$.

1. $\beta \le 90°$

2. $\gamma \le 90°$

Подставим выражение для $\gamma = 125° - \beta$ во второе неравенство:

$125° - \beta \le 90°$

$125° - 90° \le \beta$

$35° \le \beta$

Объединив два условия для $\beta$, получаем, что второй угол должен находиться в диапазоне $[35°, 90°]$.

Например, выберем $\beta = 70°$. Тогда $\gamma = 125° - 70° = 55°$. Треугольник с углами $55°, 70°, 55°$ является остроугольным, а значит, не тупоугольным.

Ответ: например, 70°.