Номер 7.9, страница 32 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.9. Замените * одночленом так, чтобы полученное равенство стало тождеством:

а) $5x^5y^3 : * = 5x^3y^3;$

б) $-10a^9b^7c : * = -5a^6b^5c;$

в) $* : (-5xyz) = -x^3y;$

г) $* : (m^{10}n) = -7m^9n.$

а) Чтобы найти неизвестный делитель в равенстве $5x^5y^3 : * = 5x^3y^3$, необходимо делимое разделить на частное. Обозначим искомый одночлен как $*$.

$* = 5x^5y^3 : 5x^3y^3$

Для деления одночленов разделим их коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями. При делении степеней их показатели вычитаются.

$* = \frac{5}{5} x^{5-3} y^{3-3} = 1 \cdot x^2 \cdot y^0 = x^2$ (поскольку $y^0 = 1$).

Проверим: $5x^5y^3 : x^2 = 5x^{5-2}y^3 = 5x^3y^3$. Равенство верно.

Ответ: $x^2$.

б) В данном равенстве $-10a^9b^7c : * = -5a^6b^5c$ неизвестный одночлен также является делителем. Найдем его, разделив делимое на частное.

$* = -10a^9b^7c : (-5a^6b^5c)$

Выполним деление, разделив коэффициенты и вычитая показатели степеней для одинаковых оснований.

$* = \frac{-10}{-5} a^{9-6} b^{7-5} c^{1-1} = 2 a^3 b^2 c^0 = 2a^3b^2$ (поскольку $c^0 = 1$).

Проверим: $-10a^9b^7c : (2a^3b^2) = (\frac{-10}{2}) a^{9-3} b^{7-2} c = -5a^6b^5c$. Равенство верно.

Ответ: $2a^3b^2$.

в) В равенстве $* : (-5xyz) = -x^3y$ неизвестный одночлен является делимым. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно перемножить частное и делитель.

$* = (-x^3y) \cdot (-5xyz)$

Для умножения одночленов перемножим их коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями. При умножении степеней их показатели складываются.

$* = (-1 \cdot -5) \cdot x^{3+1} \cdot y^{1+1} \cdot z^1 = 5x^4y^2z$

Проверим: $(5x^4y^2z) : (-5xyz) = (\frac{5}{-5}) x^{4-1} y^{2-1} z^{1-1} = -1 \cdot x^3 \cdot y^1 \cdot z^0 = -x^3y$. Равенство верно.

Ответ: $5x^4y^2z$.

г) В этом равенстве $* : (m^{10}n) = -7m^9n$ неизвестный одночлен также является делимым. Найдем его, умножив частное на делитель.

$* = (-7m^9n) \cdot (m^{10}n)$

Выполним умножение, перемножив коэффициенты и сложив показатели степеней для одинаковых оснований.

$* = -7 \cdot m^{9+10} \cdot n^{1+1} = -7m^{19}n^2$

Проверим: $(-7m^{19}n^2) : (m^{10}n) = -7 m^{19-10} n^{2-1} = -7m^9n$. Равенство верно.

Ответ: $-7m^{19}n^2$.