Номер 7.12, страница 32 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.12. Возведите одночлены $2x^4y$; $-2a^8b$; $xy^2z^6$; $-m^3n^5$:

а) в квадрат;

б) в куб;

в) в четвертую степень;

г) в пятую степень;

д) в шестую степень.

Для возведения одночлена в степень необходимо каждый его множитель возвести в эту степень. При возведении степени в степень их показатели перемножаются. Эти правила можно записать в виде формул: $(abc)^n = a^n b^n c^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$. Также следует помнить, что отрицательное число в четной степени дает положительный результат, а в нечетной — отрицательный.

а) в квадрат

Возведем каждый одночлен в квадрат (во 2-ю степень):

1. $(2x^4y)^2 = 2^2 \cdot (x^4)^2 \cdot y^2 = 4x^{4 \cdot 2}y^2 = 4x^8y^2$

2. $(-2a^8b)^2 = (-2)^2 \cdot (a^8)^2 \cdot b^2 = 4a^{8 \cdot 2}b^2 = 4a^{16}b^2$

3. $(xy^2z^6)^2 = x^2 \cdot (y^2)^2 \cdot (z^6)^2 = x^2y^{2 \cdot 2}z^{6 \cdot 2} = x^2y^4z^{12}$

4. $(-m^3n^5)^2 = (-1)^2 \cdot (m^3)^2 \cdot (n^5)^2 = m^{3 \cdot 2}n^{5 \cdot 2} = m^6n^{10}$

Ответ: $4x^8y^2$; $4a^{16}b^2$; $x^2y^4z^{12}$; $m^6n^{10}$.

б) в куб

Возведем каждый одночлен в куб (в 3-ю степень):

1. $(2x^4y)^3 = 2^3 \cdot (x^4)^3 \cdot y^3 = 8x^{4 \cdot 3}y^3 = 8x^{12}y^3$

2. $(-2a^8b)^3 = (-2)^3 \cdot (a^8)^3 \cdot b^3 = -8a^{8 \cdot 3}b^3 = -8a^{24}b^3$

3. $(xy^2z^6)^3 = x^3 \cdot (y^2)^3 \cdot (z^6)^3 = x^3y^{2 \cdot 3}z^{6 \cdot 3} = x^3y^6z^{18}$

4. $(-m^3n^5)^3 = (-1)^3 \cdot (m^3)^3 \cdot (n^5)^3 = -m^{3 \cdot 3}n^{5 \cdot 3} = -m^9n^{15}$

Ответ: $8x^{12}y^3$; $-8a^{24}b^3$; $x^3y^6z^{18}$; $-m^9n^{15}$.

в) в четвертую степень

Возведем каждый одночлен в 4-ю степень:

1. $(2x^4y)^4 = 2^4 \cdot (x^4)^4 \cdot y^4 = 16x^{4 \cdot 4}y^4 = 16x^{16}y^4$

2. $(-2a^8b)^4 = (-2)^4 \cdot (a^8)^4 \cdot b^4 = 16a^{8 \cdot 4}b^4 = 16a^{32}b^4$

3. $(xy^2z^6)^4 = x^4 \cdot (y^2)^4 \cdot (z^6)^4 = x^4y^{2 \cdot 4}z^{6 \cdot 4} = x^4y^8z^{24}$

4. $(-m^3n^5)^4 = (-1)^4 \cdot (m^3)^4 \cdot (n^5)^4 = m^{3 \cdot 4}n^{5 \cdot 4} = m^{12}n^{20}$

Ответ: $16x^{16}y^4$; $16a^{32}b^4$; $x^4y^8z^{24}$; $m^{12}n^{20}$.

г) в пятую степень

Возведем каждый одночлен в 5-ю степень:

1. $(2x^4y)^5 = 2^5 \cdot (x^4)^5 \cdot y^5 = 32x^{4 \cdot 5}y^5 = 32x^{20}y^5$

2. $(-2a^8b)^5 = (-2)^5 \cdot (a^8)^5 \cdot b^5 = -32a^{8 \cdot 5}b^5 = -32a^{40}b^5$

3. $(xy^2z^6)^5 = x^5 \cdot (y^2)^5 \cdot (z^6)^5 = x^5y^{2 \cdot 5}z^{6 \cdot 5} = x^5y^{10}z^{30}$

4. $(-m^3n^5)^5 = (-1)^5 \cdot (m^3)^5 \cdot (n^5)^5 = -m^{3 \cdot 5}n^{5 \cdot 5} = -m^{15}n^{25}$

Ответ: $32x^{20}y^5$; $-32a^{40}b^5$; $x^5y^{10}z^{30}$; $-m^{15}n^{25}$.

д) в шестую степень

Возведем каждый одночлен в 6-ю степень:

1. $(2x^4y)^6 = 2^6 \cdot (x^4)^6 \cdot y^6 = 64x^{4 \cdot 6}y^6 = 64x^{24}y^6$

2. $(-2a^8b)^6 = (-2)^6 \cdot (a^8)^6 \cdot b^6 = 64a^{8 \cdot 6}b^6 = 64a^{48}b^6$

3. $(xy^2z^6)^6 = x^6 \cdot (y^2)^6 \cdot (z^6)^6 = x^6y^{2 \cdot 6}z^{6 \cdot 6} = x^6y^{12}z^{36}$

4. $(-m^3n^5)^6 = (-1)^6 \cdot (m^3)^6 \cdot (n^5)^6 = m^{3 \cdot 6}n^{5 \cdot 6} = m^{18}n^{30}$

Ответ: $64x^{24}y^6$; $64a^{48}b^6$; $x^6y^{12}z^{36}$; $m^{18}n^{30}$.