Номер 7.18, страница 33 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.18. Представьте выражение $ (2\frac{1}{3}a^4b^8)^2 \cdot (-1\frac{2}{7}a^5b^{12}) $ в виде одночлена стандартного вида.

Для того чтобы представить данное выражение в виде одночлена стандартного вида, необходимо выполнить следующие действия: преобразовать смешанные числа в неправильные дроби, возвести первый множитель в степень, а затем перемножить полученные одночлены.

Исходное выражение: $(2\frac{1}{3}a^4b^8)^2 \cdot (-1\frac{2}{7}a^5b^{12})$.

1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

$-1\frac{2}{7} = -(\frac{1 \cdot 7 + 2}{7}) = -\frac{9}{7}$

Теперь выражение выглядит так:

$(\frac{7}{3}a^4b^8)^2 \cdot (-\frac{9}{7}a^5b^{12})$

2. Возведем первый одночлен в квадрат, используя правило возведения в степень произведения и правило возведения степени в степень ($(xy)^n = x^n y^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$):

$(\frac{7}{3}a^4b^8)^2 = (\frac{7}{3})^2 \cdot (a^4)^2 \cdot (b^8)^2 = \frac{49}{9} a^{4 \cdot 2} b^{8 \cdot 2} = \frac{49}{9}a^8b^{16}$

3. Перемножим полученный одночлен со вторым множителем:

$\frac{49}{9}a^8b^{16} \cdot (-\frac{9}{7}a^5b^{12})$

Сгруппируем числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:

$(\frac{49}{9} \cdot (-\frac{9}{7})) \cdot (a^8 \cdot a^5) \cdot (b^{16} \cdot b^{12})$

4. Выполним умножение для каждой группы:

- Умножим коэффициенты:

$\frac{49}{9} \cdot (-\frac{9}{7}) = -\frac{49 \cdot 9}{9 \cdot 7} = -\frac{49}{7} = -7$

- Умножим степени с основанием $a$, сложив их показатели ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$):

$a^8 \cdot a^5 = a^{8+5} = a^{13}$

- Умножим степени с основанием $b$:

$b^{16} \cdot b^{12} = b^{16+12} = b^{28}$

5. Запишем итоговый результат, объединив все части:

$-7a^{13}b^{28}$

Ответ: $-7a^{13}b^{28}$