Номер 7.17, страница 33 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.17. Представьте в виде одночлена стандартного вида выражение:

а) $(-a^3b^4)^5 \cdot (3a^5b)^2;$

б) $(-5a^8b^4)^3 \cdot (-a^3b)^4;$

в) $(-2ab^8) \cdot (-3a^5b)^2;$

г) $(-a^6b^7)^2 \cdot (-2a^5b^6)^3.$

Определите коэффициент и степень полученного результата.

а) Для того чтобы представить выражение $(-a^3b^4)^5 \cdot (3a^5b)^2$ в виде одночлена стандартного вида, необходимо выполнить следующие действия:
1. Возвести каждый множитель в соответствующую степень. При возведении одночлена в степень нужно возвести в эту степень его коэффициент и каждый из множителей-переменных. При возведении степени в степень их показатели перемножаются.
$(-a^3b^4)^5 = (-1)^5 \cdot (a^3)^5 \cdot (b^4)^5 = -1 \cdot a^{3 \cdot 5} \cdot b^{4 \cdot 5} = -a^{15}b^{20}$
$(3a^5b)^2 = 3^2 \cdot (a^5)^2 \cdot b^2 = 9 \cdot a^{5 \cdot 2} \cdot b^2 = 9a^{10}b^2$
2. Перемножить полученные одночлены. Для этого нужно перемножить их коэффициенты и перемножить степени с одинаковыми основаниями (при этом их показатели складываются).
$(-a^{15}b^{20}) \cdot (9a^{10}b^2) = (-1 \cdot 9) \cdot (a^{15} \cdot a^{10}) \cdot (b^{20} \cdot b^2) = -9a^{15+10}b^{20+2} = -9a^{25}b^{22}$
Полученный одночлен в стандартном виде: $-9a^{25}b^{22}$.
Коэффициент этого одночлена равен $-9$.
Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных: $25 + 22 = 47$.
Ответ: одночлен $-9a^{25}b^{22}$, коэффициент $-9$, степень $47$.

б) Преобразуем выражение $(-5a^8b^4)^3 \cdot (-a^3b)^4$.
1. Возводим каждый одночлен в степень:
$(-5a^8b^4)^3 = (-5)^3 \cdot (a^8)^3 \cdot (b^4)^3 = -125 \cdot a^{8 \cdot 3} \cdot b^{4 \cdot 3} = -125a^{24}b^{12}$
$(-a^3b)^4 = (-1)^4 \cdot (a^3)^4 \cdot b^4 = 1 \cdot a^{3 \cdot 4} \cdot b^4 = a^{12}b^4$
2. Перемножаем результаты:
$(-125a^{24}b^{12}) \cdot (a^{12}b^4) = -125 \cdot (a^{24} \cdot a^{12}) \cdot (b^{12} \cdot b^4) = -125a^{24+12}b^{12+4} = -125a^{36}b^{16}$
Полученный одночлен в стандартном виде: $-125a^{36}b^{16}$.
Коэффициент равен $-125$.
Степень равна $36 + 16 = 52$.
Ответ: одночлен $-125a^{36}b^{16}$, коэффициент $-125$, степень $52$.

в) Преобразуем выражение $(-2ab^8) \cdot (-3a^5b)^2$.
1. Первый множитель уже в стандартном виде. Возводим второй множитель в степень:
$(-3a^5b)^2 = (-3)^2 \cdot (a^5)^2 \cdot b^2 = 9 \cdot a^{5 \cdot 2} \cdot b^2 = 9a^{10}b^2$
2. Перемножаем одночлены:
$(-2ab^8) \cdot (9a^{10}b^2) = (-2 \cdot 9) \cdot (a \cdot a^{10}) \cdot (b^8 \cdot b^2) = -18a^{1+10}b^{8+2} = -18a^{11}b^{10}$
Полученный одночлен в стандартном виде: $-18a^{11}b^{10}$.
Коэффициент равен $-18$.
Степень равна $11 + 10 = 21$.
Ответ: одночлен $-18a^{11}b^{10}$, коэффициент $-18$, степень $21$.

г) Преобразуем выражение $(-a^6b^7)^2 \cdot (-2a^5b^6)^3$.
1. Возводим каждый одночлен в степень:
$(-a^6b^7)^2 = (-1)^2 \cdot (a^6)^2 \cdot (b^7)^2 = 1 \cdot a^{6 \cdot 2} \cdot b^{7 \cdot 2} = a^{12}b^{14}$
$(-2a^5b^6)^3 = (-2)^3 \cdot (a^5)^3 \cdot (b^6)^3 = -8 \cdot a^{5 \cdot 3} \cdot b^{6 \cdot 3} = -8a^{15}b^{18}$
2. Перемножаем результаты:
$(a^{12}b^{14}) \cdot (-8a^{15}b^{18}) = (1 \cdot -8) \cdot (a^{12} \cdot a^{15}) \cdot (b^{14} \cdot b^{18}) = -8a^{12+15}b^{14+18} = -8a^{27}b^{32}$
Полученный одночлен в стандартном виде: $-8a^{27}b^{32}$.
Коэффициент равен $-8$.
Степень равна $27 + 32 = 59$.
Ответ: одночлен $-8a^{27}b^{32}$, коэффициент $-8$, степень $59$.