Номер 7.14, страница 33 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.14. Представьте в виде квадрата одночлена выражение:

а) $9a^8;$

б) $36m^2n^{10};$

в) $0,25x^6y^{18};$

г) $\frac{4}{49}a^6b^{10}c^{18}.$

а) Чтобы представить выражение $9a^8$ в виде квадрата одночлена, необходимо найти такой одночлен, который при возведении во вторую степень даст исходное выражение. Для этого нужно извлечь квадратный корень из числового коэффициента и разделить показатель степени каждой переменной на 2.
Коэффициент равен 9. Квадратный корень из 9 равен 3 ($ \sqrt{9}=3 $).
Показатель степени переменной $a$ равен 8. Делим его на 2: $8 \div 2 = 4$.
Таким образом, получаем одночлен $3a^4$.
Проверим результат, возведя одночлен в квадрат: $(3a^4)^2 = 3^2 \cdot (a^4)^2 = 9a^{4 \cdot 2} = 9a^8$.
Результат верный.
Ответ: $(3a^4)^2$.

б) Представим выражение $36m^2n^{10}$ в виде квадрата одночлена.
Извлекаем квадратный корень из коэффициента 36: $\sqrt{36}=6$.
Делим показатель степени переменной $m$ на 2: $2 \div 2 = 1$.
Делим показатель степени переменной $n$ на 2: $10 \div 2 = 5$.
Получаем одночлен $6m^1n^5$, что то же самое, что и $6mn^5$.
Проверка: $(6mn^5)^2 = 6^2 \cdot m^2 \cdot (n^5)^2 = 36m^2n^{5 \cdot 2} = 36m^2n^{10}$.
Результат верный.
Ответ: $(6mn^5)^2$.

в) Представим выражение $0,25x^6y^{18}$ в виде квадрата одночлена.
Извлекаем квадратный корень из коэффициента 0,25: $\sqrt{0,25}=0,5$.
Делим показатель степени переменной $x$ на 2: $6 \div 2 = 3$.
Делим показатель степени переменной $y$ на 2: $18 \div 2 = 9$.
Получаем одночлен $0,5x^3y^9$.
Проверка: $(0,5x^3y^9)^2 = (0,5)^2 \cdot (x^3)^2 \cdot (y^9)^2 = 0,25x^{3 \cdot 2}y^{9 \cdot 2} = 0,25x^6y^{18}$.
Результат верный.
Ответ: $(0,5x^3y^9)^2$.

г) Представим выражение $\frac{4}{49}a^6b^{10}c^{18}$ в виде квадрата одночлена.
Извлекаем квадратный корень из коэффициента $\frac{4}{49}$: $\sqrt{\frac{4}{49}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{49}} = \frac{2}{7}$.
Делим показатель степени переменной $a$ на 2: $6 \div 2 = 3$.
Делим показатель степени переменной $b$ на 2: $10 \div 2 = 5$.
Делим показатель степени переменной $c$ на 2: $18 \div 2 = 9$.
Получаем одночлен $\frac{2}{7}a^3b^5c^9$.
Проверка: $(\frac{2}{7}a^3b^5c^9)^2 = (\frac{2}{7})^2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^5)^2 \cdot (c^9)^2 = \frac{4}{49}a^{3 \cdot 2}b^{5 \cdot 2}c^{9 \cdot 2} = \frac{4}{49}a^6b^{10}c^{18}$.
Результат верный.
Ответ: $(\frac{2}{7}a^3b^5c^9)^2$.