Номер 7.15, страница 33 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.15. Представьте выражение $64m^{18}n^{36}$ в виде:

а) квадрата одночлена;

б) куба одночлена;

в) шестой степени одночлена.

а) квадрата одночлена

Чтобы представить выражение $64m^{18}n^{36}$ в виде квадрата одночлена, нужно найти такой одночлен, квадрат которого равен исходному выражению. Для этого извлечем квадратный корень из каждого множителя выражения $64m^{18}n^{36}$.
Корень из числового коэффициента: $\sqrt{64} = 8$.
Корень из переменной $m$ в степени 18: $\sqrt{m^{18}} = m^{18/2} = m^9$.
Корень из переменной $n$ в степени 36: $\sqrt{n^{36}} = n^{36/2} = n^{18}$.
Полученный одночлен: $8m^9n^{18}$.
Таким образом, исходное выражение можно записать как $(8m^9n^{18})^2$. Проверим: $(8m^9n^{18})^2 = 8^2 \cdot (m^9)^2 \cdot (n^{18})^2 = 64m^{18}n^{36}$.
Ответ: $(8m^9n^{18})^2$

б) куба одночлена

Чтобы представить выражение $64m^{18}n^{36}$ в виде куба одночлена, нужно найти такой одночлен, куб которого равен исходному выражению. Для этого извлечем кубический корень из каждого множителя.
Кубический корень из числового коэффициента: $\sqrt[3]{64} = 4$.
Кубический корень из $m^{18}$: $\sqrt[3]{m^{18}} = m^{18/3} = m^6$.
Кубический корень из $n^{36}$: $\sqrt[3]{n^{36}} = n^{36/3} = n^{12}$.
Полученный одночлен: $4m^6n^{12}$.
Таким образом, исходное выражение можно записать как $(4m^6n^{12})^3$. Проверим: $(4m^6n^{12})^3 = 4^3 \cdot (m^6)^3 \cdot (n^{12})^3 = 64m^{18}n^{36}$.
Ответ: $(4m^6n^{12})^3$

в) шестой степени одночлена

Чтобы представить выражение $64m^{18}n^{36}$ в виде шестой степени одночлена, нужно найти такой одночлен, который в шестой степени равен исходному выражению. Для этого извлечем корень шестой степени из каждого множителя.
Корень шестой степени из числового коэффициента: $\sqrt[6]{64} = 2$.
Корень шестой степени из $m^{18}$: $\sqrt[6]{m^{18}} = m^{18/6} = m^3$.
Корень шестой степени из $n^{36}$: $\sqrt[6]{n^{36}} = n^{36/6} = n^6$.
Полученный одночлен: $2m^3n^6$.
Таким образом, исходное выражение можно записать как $(2m^3n^6)^6$. Проверим: $(2m^3n^6)^6 = 2^6 \cdot (m^3)^6 \cdot (n^6)^6 = 64m^{18}n^{36}$.
Ответ: $(2m^3n^6)^6$