Номер 7.19, страница 33 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.19. Представьте в виде одночлена стандартного вида выражение:

а) $ -(-m^3n^4)^4 \cdot (3m^4n)^3; $

б) $ -((-10a^5b^4)^2)^3; $

в) $ (-\frac{2}{7}xy^5)^2 \cdot (-3,5x^6y); $

г) $ (-\frac{2}{3}c^3d^8)^2 \cdot (-\frac{3}{7}c^2d^9)^3. $

а) Чтобы представить выражение в виде одночлена стандартного вида, сначала раскроем скобки, возведя каждый одночлен в соответствующую степень.
Исходное выражение: $-(-m^3n^4)^4 \cdot (3m^4n)^3$.
1. Упростим первый множитель: $-(-m^3n^4)^4$.
Поскольку степень $4$ четная, знак минус внутри скобок при возведении в степень исчезает: $(-m^3n^4)^4 = (m^3)^4(n^4)^4 = m^{3 \cdot 4}n^{4 \cdot 4} = m^{12}n^{16}$.
Тогда весь первый множитель с учетом знака перед скобкой становится $-m^{12}n^{16}$.
2. Упростим второй множитель: $(3m^4n)^3$.
Возводим в куб каждый сомножитель в скобках: $3^3(m^4)^3n^3 = 27m^{4 \cdot 3}n^3 = 27m^{12}n^3$.
3. Теперь перемножим полученные одночлены:
$(-m^{12}n^{16}) \cdot (27m^{12}n^3) = (-1 \cdot 27) \cdot (m^{12} \cdot m^{12}) \cdot (n^{16} \cdot n^3) = -27m^{12+12}n^{16+3} = -27m^{24}n^{19}$.
Ответ: $-27m^{24}n^{19}$

б) Упростим выражение $-(-(-10a^5b^4)^2)^3$, выполняя действия изнутри наружу.
1. Возведем в квадрат самое внутреннее выражение: $(-10a^5b^4)^2 = (-10)^2(a^5)^2(b^4)^2 = 100a^{10}b^8$.
2. Выражение принимает вид: $-(-(100a^{10}b^8))^3$.
3. Упростим выражение во внутренних скобках: $-(100a^{10}b^8) = -100a^{10}b^8$.
4. Теперь возведем полученный одночлен в куб: $(-100a^{10}b^8)^3 = (-100)^3(a^{10})^3(b^8)^3 = -1000000a^{30}b^{24}$.
5. Наконец, учтем знак минус перед всем выражением: $-(-1000000a^{30}b^{24}) = 1000000a^{30}b^{24}$.
Ответ: $1000000a^{30}b^{24}$

в) Раскроем скобки и перемножим одночлены в выражении $(-\frac{2}{7}xy^5)^2 \cdot (-3,5x^6y)$.
1. Возведем первый множитель в квадрат. Так как степень четная, знак минус исчезает: $(-\frac{2}{7}xy^5)^2 = (-\frac{2}{7})^2 x^2 (y^5)^2 = \frac{4}{49}x^2y^{10}$.
2. Представим десятичную дробь $-3,5$ в виде обыкновенной: $-3,5 = -\frac{35}{10} = -\frac{7}{2}$.
3. Теперь перемножим полученные одночлены: $(\frac{4}{49}x^2y^{10}) \cdot (-\frac{7}{2}x^6y)$.
Перемножим коэффициенты: $\frac{4}{49} \cdot (-\frac{7}{2}) = -\frac{4 \cdot 7}{49 \cdot 2} = -\frac{2 \cdot 1}{7 \cdot 1} = -\frac{2}{7}$.
Перемножим степени с основанием $x$: $x^2 \cdot x^6 = x^{2+6} = x^8$.
Перемножим степени с основанием $y$: $y^{10} \cdot y^1 = y^{10+1} = y^{11}$.
4. Объединим результаты: $-\frac{2}{7}x^8y^{11}$.
Ответ: $-\frac{2}{7}x^8y^{11}$

г) Упростим выражение $(-2\frac{1}{3}c^3d^8)^2 \cdot (-\frac{3}{7}c^2d^9)^3$.
1. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $-2\frac{1}{3} = -\frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{7}{3}$.
2. Возведем первый множитель в квадрат. Так как степень четная, знак минус исчезает: $(-\frac{7}{3}c^3d^8)^2 = (-\frac{7}{3})^2(c^3)^2(d^8)^2 = \frac{49}{9}c^6d^{16}$.
3. Возведем второй множитель в куб: $(-\frac{3}{7}c^2d^9)^3 = (-\frac{3}{7})^3(c^2)^3(d^9)^3 = -\frac{27}{343}c^6d^{27}$.
4. Перемножим полученные одночлены: $(\frac{49}{9}c^6d^{16}) \cdot (-\frac{27}{343}c^6d^{27})$.
Перемножим коэффициенты, сокращая дроби: $\frac{49}{9} \cdot (-\frac{27}{343}) = -\frac{49 \cdot 27}{9 \cdot 343} = -\frac{49 \cdot 3}{1 \cdot 343} = -\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 7} = -\frac{3}{7}$. (Здесь мы сократили $27$ и $9$ на $9$, а $49$ и $343$ на $49$).
Перемножим степени с основанием $c$: $c^6 \cdot c^6 = c^{6+6} = c^{12}$.
Перемножим степени с основанием $d$: $d^{16} \cdot d^{27} = d^{16+27} = d^{43}$.
5. Объединим результаты: $-\frac{3}{7}c^{12}d^{43}$.
Ответ: $-\frac{3}{7}c^{12}d^{43}$