Номер 7.26, страница 34 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.26*. Замените * одночленом так, чтобы полученное равенство стало тождеством:

a) $ab^2 + * + * = 9ab^2;$

б) $13xyz - * - * = -7xyz.$

а) $ab^2 + * + * + * = 9ab^2$

Чтобы найти одночлен, которым нужно заменить каждый знак $*$, обозначим его переменной $x$. В условии задачи сказано, что все знаки $*$ заменяются одним и тем же одночленом. Таким образом, уравнение принимает вид:
$ab^2 + x + x + x = 9ab^2$
Сложим подобные члены в левой части уравнения:
$ab^2 + 3x = 9ab^2$
Теперь решим это уравнение относительно $x$. Перенесем $ab^2$ из левой части в правую, изменив знак:
$3x = 9ab^2 - ab^2$
$3x = 8ab^2$
Разделим обе части уравнения на 3, чтобы найти $x$:
$x = \frac{8ab^2}{3}$ или $x = \frac{8}{3}ab^2$
Проверим, подставив найденный одночлен в исходное равенство:
$ab^2 + \frac{8}{3}ab^2 + \frac{8}{3}ab^2 + \frac{8}{3}ab^2 = ab^2 + 3 \cdot \left(\frac{8}{3}ab^2\right) = ab^2 + 8ab^2 = 9ab^2$
$9ab^2 = 9ab^2$
Равенство стало тождеством.
Ответ: $\frac{8}{3}ab^2$.

б) $13xyz - * - * = -7xyz$

Аналогично предыдущему пункту, обозначим неизвестный одночлен переменной $y$.
Получим уравнение:
$13xyz - y - y = -7xyz$
Приведем подобные члены в левой части:
$13xyz - 2y = -7xyz$
Чтобы найти $y$, выразим $2y$. Для этого перенесем $-2y$ в правую часть, а $-7xyz$ в левую часть, поменяв их знаки:
$13xyz + 7xyz = 2y$
Сложим одночлены в левой части:
$20xyz = 2y$
Теперь разделим обе части уравнения на 2:
$y = \frac{20xyz}{2}$
$y = 10xyz$
Проверим, подставив $10xyz$ вместо каждого знака $*$ в исходное равенство:
$13xyz - 10xyz - 10xyz = 13xyz - 20xyz = -7xyz$
$-7xyz = -7xyz$
Равенство стало тождеством.
Ответ: $10xyz$.