Номер 7.29, страница 35 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.29*. Пусть $a$ — некоторое число. Чему оно должно быть равно, чтобы выражение

$12ax^7y^5z^2(3(yz^3)^2 - 2x^2z^4) - 4(xyz)^5(9a(xyz)^2 z - 6x^4z)$

было тождественно равным некоторому одночлену нулевой степени?

Чтобы данное выражение было тождественно равным некоторому одночлену нулевой степени (то есть постоянному числу), необходимо, чтобы после упрощения все члены, содержащие переменные, взаимно уничтожились.

Исходное выражение: $12ax^7y^5z^2(3(yz^3)^2 - 2x^2z^4) - 4(xyz)^5(9a(xyz)^2z - 6x^4z)$

Для начала упростим первую часть выражения, раскрыв скобки. Сначала преобразуем выражение в первых скобках: $3(yz^3)^2 - 2x^2z^4 = 3y^2z^6 - 2x^2z^4$. Теперь умножим на внешний множитель: $12ax^7y^5z^2(3y^2z^6 - 2x^2z^4) = (12ax^7y^5z^2) \cdot (3y^2z^6) - (12ax^7y^5z^2) \cdot (2x^2z^4) = 36ax^7y^{5+2}z^{2+6} - 24ax^{7+2}y^5z^{2+4} = 36ax^7y^7z^8 - 24ax^9y^5z^6$.

Далее упростим вторую часть выражения. Сначала преобразуем степени и выражение во вторых скобках: $4(xyz)^5 = 4x^5y^5z^5$ $9a(xyz)^2z - 6x^4z = 9ax^2y^2z^2z - 6x^4z = 9ax^2y^2z^3 - 6x^4z$. Теперь раскроем скобки для второй части с учетом знака минус перед ней: $-4x^5y^5z^5(9ax^2y^2z^3 - 6x^4z) = (-4x^5y^5z^5) \cdot (9ax^2y^2z^3) - (-4x^5y^5z^5) \cdot (6x^4z) = -36ax^{5+2}y^{5+2}z^{5+3} + 24x^{5+4}y^5z^{5+1} = -36ax^7y^7z^8 + 24x^9y^5z^6$.

Теперь объединим упрощенные части: $(36ax^7y^7z^8 - 24ax^9y^5z^6) + (-36ax^7y^7z^8 + 24x^9y^5z^6)$.

Сгруппируем подобные слагаемые: $(36ax^7y^7z^8 - 36ax^7y^7z^8) + (-24ax^9y^5z^6 + 24x^9y^5z^6)$.

Первая группа слагаемых $36ax^7y^7z^8 - 36ax^7y^7z^8$ равна нулю при любом значении $a$.

Рассмотрим вторую группу слагаемых: $-24ax^9y^5z^6 + 24x^9y^5z^6$. Вынесем общий множитель $24x^9y^5z^6$ за скобки: $(-a + 1)24x^9y^5z^6 = (1 - a)24x^9y^5z^6$.

Таким образом, все выражение равно $(1 - a)24x^9y^5z^6$. Чтобы это выражение было равно одночлену нулевой степени, его значение не должно зависеть от переменных. Это возможно только если коэффициент при $x^9y^5z^6$ равен нулю.

Приравняем коэффициент к нулю и решим уравнение относительно $a$: $(1 - a) \cdot 24 = 0$ $1 - a = 0$ $a = 1$

При $a=1$ все выражение обращается в 0. Ноль является одночленом нулевой степени.

Ответ: $a=1$.