Номер 8.7, страница 36 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8.7. Представьте в стандартном виде многочлен:

а) $50a \cdot 0.2 - 2a \cdot 5b + 4b \cdot 2b;$

б) $7x^2 - x + 8x + 3;$

в) $2a + 3ab - a;$

г) $4xy^2x^3 + 2y^4 - 7x^2y^2x^2.$

а) $50a \cdot 0,2 - 2a \cdot 5b + 4b \cdot 2b$
Чтобы представить многочлен в стандартном виде, необходимо сначала упростить каждый его член, а затем привести подобные слагаемые.
1. Упростим каждый член (одночлен), выполнив умножение:
$50a \cdot 0,2 = (50 \cdot 0,2)a = 10a$
$-2a \cdot 5b = -(2 \cdot 5)ab = -10ab$
$4b \cdot 2b = (4 \cdot 2)b \cdot b = 8b^2$
2. Запишем многочлен с упрощенными членами: $10a - 10ab + 8b^2$.
3. В полученном выражении нет подобных членов. Стандартный вид многочлена предполагает расположение его членов в порядке убывания их степеней. Расположим члены по убыванию степеней: $8b^2 - 10ab + 10a$.
Ответ: $8b^2 - 10ab + 10a$

б) $7x^2 - x + 8x + 3$
В данном многочлене есть подобные члены (члены с одинаковой буквенной частью): $-x$ и $8x$.
1. Приведем подобные члены: $-x + 8x = (-1 + 8)x = 7x$.
2. Запишем многочлен, подставив результат сложения подобных членов: $7x^2 + 7x + 3$.
3. Члены многочлена уже расположены в порядке убывания степеней переменной $x$, поэтому это и есть стандартный вид.
Ответ: $7x^2 + 7x + 3$

в) $2a + 3ab - a$
В данном многочлене есть подобные члены: $2a$ и $-a$.
1. Приведем подобные члены: $2a - a = (2 - 1)a = a$.
2. Запишем многочлен, заменив подобные члены их суммой: $a + 3ab$.
3. Расположим члены в порядке убывания степеней (степень $3ab$ равна 2, степень $a$ равна 1): $3ab + a$.
Ответ: $3ab + a$

г) $4xy^2x^3 + 2y^4 - 7x^2y^2x^2$
1. Сначала приведем каждый член многочлена к стандартному виду:
$4xy^2x^3 = 4 \cdot (x \cdot x^3) \cdot y^2 = 4x^{1+3}y^2 = 4x^4y^2$
$2y^4$ — уже в стандартном виде.
$7x^2y^2x^2 = 7 \cdot (x^2 \cdot x^2) \cdot y^2 = 7x^{2+2}y^2 = 7x^4y^2$
2. Теперь многочлен имеет вид: $4x^4y^2 + 2y^4 - 7x^4y^2$.
3. Найдем и приведем подобные члены ($4x^4y^2$ и $-7x^4y^2$):
$4x^4y^2 - 7x^4y^2 = (4 - 7)x^4y^2 = -3x^4y^2$
4. Запишем итоговый многочлен в стандартном виде: $-3x^4y^2 + 2y^4$.
Ответ: $-3x^4y^2 + 2y^4$