Номер 8.14, страница 37 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8.14*. Запишите в стандартном виде многочлен:

а) $(3x^3)^2 + 3x^2 \cdot 5x^4 - 6x^5 + 1 + 7x^6 + x^5;$

б) $(-3y) \cdot 4y - (y^2)^4 + 13y^2 - y^5 \cdot y^3 - 5y^6.$

а) Чтобы привести многочлен $(3x^3)^2 + 3x^2 \cdot 5x^4 - 6x^5 + 1 + 7x^6 + x^5$ к стандартному виду, нужно выполнить два основных шага: упростить каждый член и затем сложить подобные члены.

1. Упрощение членов многочлена:
- Первый член: $(3x^3)^2$. Используя свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$ и свойство степени степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $3^2 \cdot (x^3)^2 = 9x^{3 \cdot 2} = 9x^6$.
- Второй член: $3x^2 \cdot 5x^4$. Перемножаем коэффициенты и степени с одинаковым основанием, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $(3 \cdot 5) \cdot (x^2 \cdot x^4) = 15x^{2+4} = 15x^6$.

После упрощения исходное выражение принимает вид:
$9x^6 + 15x^6 - 6x^5 + 1 + 7x^6 + x^5$

2. Приведение подобных слагаемых:
Сгруппируем члены с одинаковыми степенями переменной $x$ и сложим их коэффициенты:
- Члены со степенью $x^6$: $9x^6 + 15x^6 + 7x^6 = (9 + 15 + 7)x^6 = 31x^6$.
- Члены со степенью $x^5$: $-6x^5 + x^5 = (-6 + 1)x^5 = -5x^5$.
- Свободный член (степень $x^0$): $1$.

3. Запись в стандартном виде:
Расположим полученные члены в порядке убывания их степеней. Это и будет стандартный вид многочлена.
$31x^6 - 5x^5 + 1$

Ответ: $31x^6 - 5x^5 + 1$

б) Для приведения многочлена $(-3y) \cdot 4y - (y^2)^4 + 13y^2 - y^5 \cdot y^3 - 5y^6$ к стандартному виду выполним те же шаги.

1. Упрощение членов многочлена:
- Первый член: $(-3y) \cdot 4y = (-3 \cdot 4) \cdot (y^1 \cdot y^1) = -12y^{1+1} = -12y^2$.
- Второй член: $-(y^2)^4 = -y^{2 \cdot 4} = -y^8$.
- Четвертый член: $-y^5 \cdot y^3 = -y^{5+3} = -y^8$.

После подстановки упрощенных членов в выражение получаем:
$-12y^2 - y^8 + 13y^2 - y^8 - 5y^6$

2. Приведение подобных слагаемых:
Сгруппируем и сложим члены с одинаковыми степенями переменной $y$:
- Члены со степенью $y^8$: $-y^8 - y^8 = (-1 - 1)y^8 = -2y^8$.
- Члены со степенью $y^6$: $-5y^6$ (подобных ему нет).
- Члены со степенью $y^2$: $-12y^2 + 13y^2 = (-12 + 13)y^2 = 1y^2 = y^2$.

3. Запись в стандартном виде:
Расположим полученные члены в порядке убывания их степеней:
$-2y^8 - 5y^6 + y^2$

Ответ: $-2y^8 - 5y^6 + y^2$