Номер 8.10, страница 36 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8.10. Приведите многочлен к стандартному виду и определите его степень:

а) $7a^2b - ab^2 - a^2b + 5ab^2$;

б) $mn - 3mn^4 - mn - 3mn^4$;

в) $3xy - xy^2 - 4xy + xy^2$;

г) $5cd^3 - 4c^3d + c^3d - 5cd^3$.

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, необходимо выполнить два шага:
1. Привести все члены многочлена (одночлены) к стандартному виду. В данной задаче все одночлены уже в стандартном виде.
2. Привести подобные члены, то есть сложить или вычесть одночлены с одинаковой буквенной частью.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. Степень одночлена – это сумма показателей степеней всех его переменных.

а) $7a^2b - ab^2 - a^2b + 5ab^2$

Сгруппируем подобные члены. Подобными являются члены с одинаковой буквенной частью: $7a^2b$ и $-a^2b$, а также $-ab^2$ и $5ab^2$.

Приведем подобные члены, складывая их коэффициенты:

$(7a^2b - a^2b) + (-ab^2 + 5ab^2) = (7-1)a^2b + (-1+5)ab^2 = 6a^2b + 4ab^2$.

Получили многочлен в стандартном виде: $6a^2b + 4ab^2$.

Теперь определим его степень. Для этого найдем степени каждого одночлена:

Степень $6a^2b$ равна $2+1=3$.

Степень $4ab^2$ равна $1+2=3$.

Наибольшая из степеней равна 3, значит, степень всего многочлена равна 3.

Ответ: Стандартный вид многочлена: $6a^2b + 4ab^2$; степень многочлена: 3.

б) $mn - 3mn^4 - mn - 3mn^4$

Сгруппируем подобные члены: $mn$ и $-mn$, а также $-3mn^4$ и $-3mn^4$.

Приведем подобные члены:

$(mn - mn) + (-3mn^4 - 3mn^4) = (1-1)mn + (-3-3)mn^4 = 0 \cdot mn - 6mn^4 = -6mn^4$.

Получили многочлен в стандартном виде: $-6mn^4$.

Определим его степень. Степень одночлена $-6mn^4$ (где у $m$ показатель 1, у $n$ – 4) равна $1+4=5$.

Ответ: Стандартный вид многочлена: $-6mn^4$; степень многочлена: 5.

в) $3xy - xy^2 - 4xy + xy^2$

Сгруппируем подобные члены: $3xy$ и $-4xy$, а также $-xy^2$ и $xy^2$.

Приведем подобные члены:

$(3xy - 4xy) + (-xy^2 + xy^2) = (3-4)xy + (-1+1)xy^2 = -1 \cdot xy + 0 \cdot xy^2 = -xy$.

Получили многочлен в стандартном виде: $-xy$.

Определим его степень. Степень одночлена $-xy$ (где у $x$ и $y$ показатели равны 1) равна $1+1=2$.

Ответ: Стандартный вид многочлена: $-xy$; степень многочлена: 2.

г) $5cd^3 - 4c^3d + c^3d - 5cd^3$

Сгруппируем подобные члены: $5cd^3$ и $-5cd^3$, а также $-4c^3d$ и $c^3d$.

Приведем подобные члены:

$(5cd^3 - 5cd^3) + (-4c^3d + c^3d) = (5-5)cd^3 + (-4+1)c^3d = 0 \cdot cd^3 - 3c^3d = -3c^3d$.

Получили многочлен в стандартном виде: $-3c^3d$.

Определим его степень. Степень одночлена $-3c^3d$ (где у $c$ показатель 3, у $d$ – 1) равна $3+1=4$.

Ответ: Стандартный вид многочлена: $-3c^3d$; степень многочлена: 4.