Номер 8.8, страница 36 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8.8. Приведите многочлен к стандартному виду и найдите его значение:

а) $2a^4 + 3a^2 - 3a - a^4 - a^2 - 2a + 1$ при $a = 0.5$;

б) $x^2 + y - 0.75x^2 - 0.5y - y^2$ при $x = 4.8, y = 2.4.$

а) Сначала приведем многочлен $2a^4 + 3a^2 - 3a - a^4 - a^2 - 2a + 1$ к стандартному виду. Для этого сгруппируем и приведем подобные члены (одночлены с одинаковой переменной в одинаковой степени).

1. Члены с $a^4$: $2a^4 - a^4 = (2-1)a^4 = a^4$.

2. Члены с $a^2$: $3a^2 - a^2 = (3-1)a^2 = 2a^2$.

3. Члены с $a$: $-3a - 2a = (-3-2)a = -5a$.

4. Свободный член: $+1$.

Записав полученные члены в порядке убывания степеней, получим многочлен стандартного вида:

$a^4 + 2a^2 - 5a + 1$

Теперь найдем значение этого многочлена при $a = 0,5$. Подставим значение $a$ в упрощенное выражение:

$(0,5)^4 + 2(0,5)^2 - 5(0,5) + 1$

Вычислим значение выражения:

$(0,5)^4 + 2 \cdot (0,5)^2 - 5 \cdot 0,5 + 1 = 0,0625 + 2 \cdot 0,25 - 2,5 + 1 = 0,0625 + 0,5 - 2,5 + 1 = 0,5625 - 2,5 + 1 = -1,9375 + 1 = -0,9375$.

Ответ: $a^4 + 2a^2 - 5a + 1$; $-0,9375$.

б) Сначала приведем многочлен $x^2 + y - 0,75x^2 - 0,5y - y^2$ к стандартному виду, сгруппировав и приведя подобные члены.

1. Члены с $x^2$: $x^2 - 0,75x^2 = (1-0,75)x^2 = 0,25x^2$.

2. Члены с $y$: $y - 0,5y = (1-0,5)y = 0,5y$.

3. Член с $y^2$: $-y^2$.

Запишем многочлен в стандартном виде:

$0,25x^2 - y^2 + 0,5y$

Теперь найдем значение этого многочлена при $x = 4,8$ и $y = 2,4$. Подставим значения переменных в упрощенное выражение:

$0,25 \cdot (4,8)^2 - (2,4)^2 + 0,5 \cdot 2,4$

Вычислим значение выражения:

$0,25 \cdot 23,04 - 5,76 + 1,2 = 5,76 - 5,76 + 1,2 = 0 + 1,2 = 1,2$.

Ответ: $0,25x^2 - y^2 + 0,5y$; $1,2$.