Номер 7.28, страница 35 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.28*. Представьте выражение в виде квадрата одночлена стандартного вида:

а) $$\\left(\\left(3x^5 y z^3\\right)^5 : \\left(9x^8 y^3 z^2\\right)^2\\right) \\cdot \\left(27xy^3 z^5\\right)^3;$$

б) $$\\left(\\left(2x^4 z^3\\right)^3 \\cdot \\left(8xy^3 z\\right)^4\\right) : \\left(2zx^2 y^2\\right)^5.$$

а)

Исходное выражение: $((3x^5yz^3)^5 : (9x^8y^3z^2)^2) \cdot (27xy^3z^5)^3$.

1. Сначала упростим каждый одночлен в выражении, возведя его в соответствующую степень. Для этого воспользуемся свойствами степеней $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$. Коэффициенты представим в виде степеней числа 3 для удобства вычислений.

$(3x^5yz^3)^5 = 3^5 \cdot (x^5)^5 \cdot y^5 \cdot (z^3)^5 = 3^5x^{25}y^5z^{15}$

$(9x^8y^3z^2)^2 = (3^2)^2 \cdot (x^8)^2 \cdot (y^3)^2 \cdot (z^2)^2 = 3^4x^{16}y^6z^4$

$(27xy^3z^5)^3 = (3^3)^3 \cdot x^3 \cdot (y^3)^3 \cdot (z^5)^3 = 3^9x^3y^9z^{15}$

2. Теперь подставим упрощенные одночлены обратно в выражение и выполним действия согласно порядку операций (сначала в скобках).

Выполним деление в скобках:

$(3^5x^{25}y^5z^{15}) : (3^4x^{16}y^6z^4) = \frac{3^5}{3^4} \cdot \frac{x^{25}}{x^{16}} \cdot \frac{y^5}{y^6} \cdot \frac{z^{15}}{z^4} = 3^{5-4}x^{25-16}y^{5-6}z^{15-4} = 3^1x^9y^{-1}z^{11}$

3. Теперь выполним умножение:

$(3x^9y^{-1}z^{11}) \cdot (3^9x^3y^9z^{15}) = (3 \cdot 3^9) \cdot (x^9 \cdot x^3) \cdot (y^{-1} \cdot y^9) \cdot (z^{11} \cdot z^{15}) = 3^{1+9}x^{9+3}y^{-1+9}z^{11+15} = 3^{10}x^{12}y^8z^{26}$

4. Получили одночлен стандартного вида. Вычислим коэффициент: $3^{10} = 59049$. Таким образом, выражение равно $59049x^{12}y^8z^{26}$.

5. Чтобы представить этот одночлен в виде квадрата, нужно найти такой одночлен, который при возведении в квадрат даст исходный. Для этого извлечем квадратный корень из коэффициента и разделим показатели степеней всех переменных на 2.

$\sqrt{59049} = \sqrt{3^{10}} = 3^5 = 243$

$x^{12} = (x^{12/2})^2 = (x^6)^2$

$y^8 = (y^{8/2})^2 = (y^4)^2$

$z^{26} = (z^{26/2})^2 = (z^{13})^2$

Собирая все вместе, получаем:

$59049x^{12}y^8z^{26} = (243x^6y^4z^{13})^2$

Ответ: $(243x^6y^4z^{13})^2$

б)

Исходное выражение: $((2x^4z^3)^3 \cdot (8xy^3z)^4) : (2zx^2y^2)^5$.

1. Упростим каждый одночлен, возведя его в степень. Коэффициенты представим в виде степеней числа 2.

$(2x^4z^3)^3 = 2^3 \cdot (x^4)^3 \cdot (z^3)^3 = 2^3x^{12}z^9$

$(8xy^3z)^4 = (2^3)^4 \cdot x^4 \cdot (y^3)^4 \cdot z^4 = 2^{12}x^4y^{12}z^4$

$(2zx^2y^2)^5 = 2^5 \cdot z^5 \cdot (x^2)^5 \cdot (y^2)^5 = 2^5x^{10}y^{10}z^5$

2. Подставим упрощенные одночлены в выражение и выполним действия.

Сначала выполним умножение в скобках:

$(2^3x^{12}z^9) \cdot (2^{12}x^4y^{12}z^4) = (2^3 \cdot 2^{12}) \cdot (x^{12} \cdot x^4) \cdot y^{12} \cdot (z^9 \cdot z^4) = 2^{3+12}x^{12+4}y^{12}z^{9+4} = 2^{15}x^{16}y^{12}z^{13}$

3. Теперь выполним деление:

$(2^{15}x^{16}y^{12}z^{13}) : (2^5x^{10}y^{10}z^5) = \frac{2^{15}}{2^5} \cdot \frac{x^{16}}{x^{10}} \cdot \frac{y^{12}}{y^{10}} \cdot \frac{z^{13}}{z^5} = 2^{15-5}x^{16-10}y^{12-10}z^{13-5} = 2^{10}x^6y^2z^8$

4. Вычислим коэффициент: $2^{10} = 1024$. Таким образом, выражение равно $1024x^6y^2z^8$.

5. Представим полученный одночлен в виде квадрата. Все показатели степеней четные, и коэффициент $1024$ является полным квадратом.

$\sqrt{1024} = \sqrt{2^{10}} = 2^5 = 32$

$x^6 = (x^{6/2})^2 = (x^3)^2$

$y^2 = (y^{2/2})^2 = (y^1)^2 = y^2$

$z^8 = (z^{8/2})^2 = (z^4)^2$

Собирая все вместе, получаем:

$1024x^6y^2z^8 = (32x^3yz^4)^2$

Ответ: $(32x^3yz^4)^2$