Номер 7.27, страница 34 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.27*. Преобразуйте выражение в одночлен стандартного вида:

а) $(-3x^2yz^2 \cdot (-2x^3z^5)^3)^2 : (6yz^9)^2;$

б) $(4x^3y^2)^3 \cdot (3y^2z^3)^4 : (6z^2x^4y^3)^2.$

а) Для преобразования выражения $(-3x^2yz^2 \cdot (-2x^3z^5)^3)^2 : (6yz^9)^2$ в одночлен стандартного вида, выполним действия последовательно.
1. Сначала упростим выражение в делимом, начиная с возведения в степень внутреннего множителя. Используем свойства степени $(ab)^n = a^nb^n$ и $(a^m)^n=a^{mn}$:
$(-2x^3z^5)^3 = (-2)^3 \cdot (x^3)^3 \cdot (z^5)^3 = -8x^9z^{15}$.
2. Далее выполним умножение одночленов внутри скобок. При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются:
$-3x^2yz^2 \cdot (-8x^9z^{15}) = (-3 \cdot -8) \cdot (x^2 \cdot x^9) \cdot y \cdot (z^2 \cdot z^{15}) = 24x^{2+9}yz^{2+15} = 24x^{11}yz^{17}$.
3. Теперь возведем полученный результат (делимое) и делитель в квадрат:
Делимое: $(24x^{11}yz^{17})^2 = 24^2 \cdot (x^{11})^2 \cdot y^2 \cdot (z^{17})^2 = 576x^{22}y^2z^{34}$.
Делитель: $(6yz^9)^2 = 6^2 \cdot y^2 \cdot (z^9)^2 = 36y^2z^{18}$.
4. Выполним деление. При делении степеней с одинаковыми основаниями их показатели вычитаются:
$\frac{576x^{22}y^2z^{34}}{36y^2z^{18}} = (\frac{576}{36}) \cdot x^{22} \cdot y^{2-2} \cdot z^{34-18} = 16x^{22}y^0z^{16}$.
Так как любое число в нулевой степени равно 1 ($y^0=1$), окончательный вид одночлена:
$16x^{22}z^{16}$.
Ответ: $16x^{22}z^{16}$

б) Для преобразования выражения $(4x^3y^2)^3 \cdot (3y^2z^3)^4 : (6z^2x^4y^3)^2$ в одночлен стандартного вида, выполним действия по порядку.
1. Возведем каждый из трех одночленов в соответствующую степень:
Первый множитель: $(4x^3y^2)^3 = 4^3(x^3)^3(y^2)^3 = 64x^9y^6$.
Второй множитель: $(3y^2z^3)^4 = 3^4(y^2)^4(z^3)^4 = 81y^8z^{12}$.
Делитель: $(6z^2x^4y^3)^2 = 6^2(z^2)^2(x^4)^2(y^3)^2 = 36z^4x^8y^6$. Приведем к стандартному виду, расположив переменные в алфавитном порядке: $36x^8y^6z^4$.
2. Выполним умножение первых двух полученных одночленов:
$64x^9y^6 \cdot 81y^8z^{12} = (64 \cdot 81) \cdot x^9 \cdot (y^6 \cdot y^8) \cdot z^{12} = 5184x^9y^{14}z^{12}$.
3. Выполним деление результата умножения на третий одночлен:
$\frac{5184x^9y^{14}z^{12}}{36x^8y^6z^4} = (\frac{5184}{36}) \cdot \frac{x^9}{x^8} \cdot \frac{y^{14}}{y^6} \cdot \frac{z^{12}}{z^4} = 144x^{9-8}y^{14-6}z^{12-4} = 144x^1y^8z^8 = 144xy^8z^8$.
Ответ: $144xy^8z^8$