Номер 17.10, страница 76 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

17.10. Какая из данных функций является линейной:

а) $y = \frac{3}{x} + 1;$

б) $y = -\frac{x}{3} + 1;$

в) $y = x^2 + 3x;$

г) $y = x^3 + 4?$

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ и $b$ — некоторые числа. Графиком линейной функции является прямая линия. Это означает, что переменная $x$ должна быть в первой степени и не может находиться в знаменателе дроби или быть возведена в любую другую степень, отличную от единицы.

Проанализируем каждую из предложенных функций:

а) $y = \frac{3}{x} + 1$

В этой функции переменная $x$ находится в знаменателе, что равносильно степени -1 ($y = 3x^{-1} + 1$). Это функция обратной пропорциональности, а не линейная. Ее график — гипербола.

Ответ: не является линейной.

б) $y = -\frac{x}{3} + 1$

Эту функцию можно представить в стандартном виде линейной функции $y = kx + b$, а именно: $y = (-\frac{1}{3})x + 1$. Здесь коэффициент $k = -\frac{1}{3}$ и свободный член $b = 1$. Переменная $x$ находится в первой степени. Следовательно, эта функция является линейной.

Ответ: является линейной.

в) $y = x^2 + 3x$

Эта функция содержит переменную $x$ во второй степени ($x^2$). Такие функции называются квадратичными, и их график — парабола, а не прямая линия.

Ответ: не является линейной.

г) $y = x^3 + 4$

Эта функция содержит переменную $x$ в третьей степени ($x^3$). Такие функции называются кубическими, и их график не является прямой линией.

Ответ: не является линейной.