Номер 17.30, страница 79 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

17.30. Установите взаимное расположение графиков линейных функций:

а) $y = 2x - 1$ и $y = x + 2;$

б) $y = 5x + 9$ и $y = 5x;$

в) $y = -x$ и $y = -x + 8;$

г) $y = 3x + 6$ и $y = -3x + 6;$

д) $y = -4x + 1$ и $y = 1 - 4x;$

е) $y = -5$ и $y = 7.$

Для определения взаимного расположения графиков двух линейных функций вида $y = kx + b$ необходимо сравнить их угловые коэффициенты $k$ и свободные члены $b$. Если угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$), то графики функций пересекаются. Если угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а свободные члены различны ($b_1 \neq b_2$), то графики параллельны. Если и угловые коэффициенты, и свободные члены равны ($k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$), то графики совпадают.

а) Для функций $y = 2x - 1$ и $y = x + 2$ определим их угловые коэффициенты.
У функции $y = 2x - 1$ угловой коэффициент $k_1 = 2$.
У функции $y = x + 2$ угловой коэффициент $k_2 = 1$.
Так как угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$, поскольку $2 \neq 1$), графики функций пересекаются.
Ответ: графики пересекаются.

б) Для функций $y = 5x + 9$ и $y = 5x$ определим их угловые коэффициенты и свободные члены.
У функции $y = 5x + 9$ угловой коэффициент $k_1 = 5$, свободный член $b_1 = 9$.
У функции $y = 5x$ (или $y = 5x + 0$) угловой коэффициент $k_2 = 5$, свободный член $b_2 = 0$.
Так как угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а свободные члены различны ($b_1 \neq b_2$), графики функций параллельны.
Ответ: графики параллельны.

в) Для функций $y = -x$ и $y = -x + 8$ определим их угловые коэффициенты и свободные члены.
У функции $y = -x$ (или $y = -1x + 0$) угловой коэффициент $k_1 = -1$, свободный член $b_1 = 0$.
У функции $y = -x + 8$ угловой коэффициент $k_2 = -1$, свободный член $b_2 = 8$.
Так как угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а свободные члены различны ($b_1 \neq b_2$), графики функций параллельны.
Ответ: графики параллельны.

г) Для функций $y = 3x + 6$ и $y = -3x + 6$ определим их угловые коэффициенты.
У функции $y = 3x + 6$ угловой коэффициент $k_1 = 3$.
У функции $y = -3x + 6$ угловой коэффициент $k_2 = -3$.
Так как угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$, поскольку $3 \neq -3$), графики функций пересекаются. Стоит отметить, что у них одинаковый свободный член $b_1=b_2=6$, это значит, что они пересекаются на оси ординат в точке $(0; 6)$.
Ответ: графики пересекаются.

д) Для функций $y = -4x + 1$ и $y = 1 - 4x$.
Перепишем вторую функцию в стандартном виде: $y = -4x + 1$.
У первой функции $y = -4x + 1$ угловой коэффициент $k_1 = -4$, свободный член $b_1 = 1$.
У второй функции $y = -4x + 1$ угловой коэффициент $k_2 = -4$, свободный член $b_2 = 1$.
Так как и угловые коэффициенты, и свободные члены равны ($k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$), графики функций совпадают.
Ответ: графики совпадают.

е) Для функций $y = -5$ и $y = 7$.
Данные функции являются частным случаем линейной функции, где угловой коэффициент равен нулю. Их можно записать как $y = 0x - 5$ и $y = 0x + 7$.
У функции $y = -5$ угловой коэффициент $k_1 = 0$, свободный член $b_1 = -5$.
У функции $y = 7$ угловой коэффициент $k_2 = 0$, свободный член $b_2 = 7$.
Так как угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а свободные члены различны ($b_1 \neq b_2$), графики функций параллельны. Это две горизонтальные прямые, параллельные оси абсцисс.
Ответ: графики параллельны.