Номер 17.37, страница 80 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

17.37. Найдите координаты точек пересечения графика функции с осями координат:

a) $y=(x-1)^2+2-(x+2)^2$

б) $y=2-(x-1)^2+(x+2)^2$

а) $y = (x-1)^2 + 2 - (x+2)^2$

Для нахождения координат точек пересечения графика с осями координат, необходимо найти точки, в которых либо $x=0$ (пересечение с осью Oy), либо $y=0$ (пересечение с осью Ox).

1. Пересечение с осью ординат (осью Oy)

Для этого подставим $x=0$ в уравнение функции:

$y = (0-1)^2 + 2 - (0+2)^2 = (-1)^2 + 2 - 2^2 = 1 + 2 - 4 = -1$.

Таким образом, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0, -1)$.

2. Пересечение с осью абсцисс (осью Ox)

Для этого приравняем $y$ к нулю: $y=0$. Удобнее сначала упростить исходное выражение:

$y = (x^2 - 2x + 1) + 2 - (x^2 + 4x + 4) = x^2 - 2x + 3 - x^2 - 4x - 4 = -6x - 1$.

Теперь решим уравнение:

$-6x - 1 = 0$

$6x = -1$

$x = -\frac{1}{6}$

Таким образом, точка пересечения с осью Ox имеет координаты $(-\frac{1}{6}, 0)$.

Ответ: $(0, -1)$ и $(-\frac{1}{6}, 0)$.

б) $y = 2 - (x-1)^2 + (x+2)^2$

Аналогично пункту а), найдем точки пересечения с осями координат.

1. Пересечение с осью ординат (осью Oy)

Подставим $x=0$ в уравнение функции:

$y = 2 - (0-1)^2 + (0+2)^2 = 2 - (-1)^2 + 2^2 = 2 - 1 + 4 = 5$.

Таким образом, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0, 5)$.

2. Пересечение с осью абсцисс (осью Ox)

Приравняем $y$ к нулю. Сначала упростим выражение:

$y = 2 - (x^2 - 2x + 1) + (x^2 + 4x + 4) = 2 - x^2 + 2x - 1 + x^2 + 4x + 4 = 6x + 5$.

Решим уравнение:

$6x + 5 = 0$

$6x = -5$

$x = -\frac{5}{6}$

Таким образом, точка пересечения с осью Ox имеет координаты $(-\frac{5}{6}, 0)$.

Ответ: $(0, 5)$ и $(-\frac{5}{6}, 0)$.