Номер 17.42, страница 81 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

17.42. Докажите, что графики функций пересекаются в одной точке:

а) $y = -2x - 4$, $y = 0,5x - 1,5$ и $y = 2x$;

б) $y = x - 4$, $y = -2x + 5$ и $y = -\frac{x}{3}$.

а)

Чтобы доказать, что графики трех функций пересекаются в одной точке, нужно найти точку пересечения двух любых графиков и затем проверить, принадлежит ли эта точка третьему графику.

1. Найдем точку пересечения графиков функций $y = -2x - 4$ и $y = 0,5x - 1,5$. Для этого приравняем правые части их уравнений:
$-2x - 4 = 0,5x - 1,5$
Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в одну сторону, а свободные члены — в другую:
$-4 + 1,5 = 0,5x + 2x$
$-2,5 = 2,5x$
$x = -1$

2. Теперь найдем ординату ($y$) точки пересечения, подставив найденное значение $x = -1$ в уравнение любой из этих двух функций. Например, в первое:
$y = -2(-1) - 4 = 2 - 4 = -2$
Таким образом, точка пересечения первых двух графиков имеет координаты $(-1; -2)$.

3. Проверим, принадлежит ли точка $(-1; -2)$ графику третьей функции $y = 2x$. Подставим ее координаты в уравнение:
$-2 = 2 \cdot (-1)$
$-2 = -2$
Равенство является верным, следовательно, точка $(-1; -2)$ лежит и на третьем графике. Это доказывает, что все три графика пересекаются в одной точке.

Ответ: графики функций пересекаются в точке $(-1; -2)$.

б)

Действуем по тому же алгоритму. Даны функции $y = x - 4$, $y = -2x + 5$ и $y = -\frac{x}{3}$.

1. Найдем точку пересечения графиков функций $y = x - 4$ и $y = -2x + 5$. Приравняем правые части уравнений:
$x - 4 = -2x + 5$
$x + 2x = 5 + 4$
$3x = 9$
$x = 3$

2. Найдем ординату ($y$) точки пересечения, подставив $x = 3$ в первое уравнение:
$y = 3 - 4 = -1$
Таким образом, точка пересечения первых двух графиков — $(3; -1)$.

3. Проверим, принадлежит ли точка $(3; -1)$ графику третьей функции $y = -\frac{x}{3}$. Подставим ее координаты в уравнение:
$-1 = -\frac{3}{3}$
$-1 = -1$
Равенство является верным, значит, все три графика пересекаются в одной точке.

Ответ: графики функций пересекаются в точке $(3; -1)$.