Номер 17.35, страница 79 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

17.35. Постройте график функции:

а) $y = 6x(3x - 2) - 4.5x(4x - 1) - 2 + 6.5x;$

б) $y = (2x - 1)(3x + 2) - 6x(x + 0.5) + 2;$

в) $y = 4x(5x - 1) - 2x(10x - 4) - 13x + 7(1 + x);$

г) $y = (\frac{1}{2}x + 3)(\frac{1}{3}x - 4) - \frac{x^2}{6} + 8;$

д) $y = x^6 - (x^3 - 2)(x^3 + 2);$

е) $y = (-x - 2)^2 - (-x + 2)^2 + 3;$

ж) $y = 2(x - 1)^2 + (x + 1)^2 - 3(1 + x)(x - 1) - 2;$

з) $y = 5(x + 1)^2 + (x - 3)^2 - 6(x - 1)(x + 1) - 17.$

а) Чтобы построить график функции $y = 6x(3x - 2) - 4,5x(4x - 1) - 2 + 6,5x$, сначала упростим ее выражение. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
$y = 6x \cdot 3x - 6x \cdot 2 - 4,5x \cdot 4x - 4,5x \cdot (-1) - 2 + 6,5x$
$y = 18x^2 - 12x - 18x^2 + 4,5x - 2 + 6,5x$
Сгруппируем подобные члены:
$y = (18x^2 - 18x^2) + (-12x + 4,5x + 6,5x) - 2$
$y = 0 + (-12x + 11x) - 2$
$y = -x - 2$
Получили линейную функцию $y = -x - 2$. Ее график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Найдем координаты двух точек, принадлежащих графику:
1. Если $x = 0$, то $y = -0 - 2 = -2$. Получаем точку $(0, -2)$.
2. Если $x = -2$, то $y = -(-2) - 2 = 2 - 2 = 0$. Получаем точку $(-2, 0)$.
Проводим прямую через эти две точки.
Ответ: $y = -x - 2$, график — прямая, проходящая через точки $(0, -2)$ и $(-2, 0)$.

б) Упростим выражение для функции $y = (2x - 1)(3x + 2) - 6x(x + 0,5) + 2$.
Раскроем скобки, используя правило умножения многочленов и распределительный закон:
$y = (2x \cdot 3x + 2x \cdot 2 - 1 \cdot 3x - 1 \cdot 2) - (6x \cdot x + 6x \cdot 0,5) + 2$
$y = (6x^2 + 4x - 3x - 2) - (6x^2 + 3x) + 2$
$y = 6x^2 + x - 2 - 6x^2 - 3x + 2$
Приведем подобные слагаемые:
$y = (6x^2 - 6x^2) + (x - 3x) + (-2 + 2)$
$y = 0 - 2x + 0$
$y = -2x$
Получили линейную функцию $y = -2x$. Это прямая пропорциональность, ее график — прямая, проходящая через начало координат.
1. Точка $(0, 0)$ принадлежит графику.
2. Найдем еще одну точку. Если $x = 1$, то $y = -2 \cdot 1 = -2$. Получаем точку $(1, -2)$.
Проводим прямую через точки $(0, 0)$ и $(1, -2)$.
Ответ: $y = -2x$, график — прямая, проходящая через точки $(0, 0)$ и $(1, -2)$.

в) Упростим выражение для функции $y = 4x(5x - 1) - 2x(10x - 4) - 13x + 7(1 + x)$.
Раскроем скобки:
$y = (20x^2 - 4x) - (20x^2 - 8x) - 13x + (7 + 7x)$
$y = 20x^2 - 4x - 20x^2 + 8x - 13x + 7 + 7x$
Приведем подобные слагаемые:
$y = (20x^2 - 20x^2) + (-4x + 8x - 13x + 7x) + 7$
$y = 0 + (-2x) + 7$
$y = -2x + 7$
Получили линейную функцию $y = -2x + 7$. Ее график — прямая. Для построения найдем две точки:
1. Если $x = 0$, то $y = -2 \cdot 0 + 7 = 7$. Точка $(0, 7)$.
2. Если $x = 3$, то $y = -2 \cdot 3 + 7 = -6 + 7 = 1$. Точка $(3, 1)$.
Проводим прямую через точки $(0, 7)$ и $(3, 1)$.
Ответ: $y = -2x + 7$, график — прямая, проходящая через точки $(0, 7)$ и $(3, 1)$.

г) Упростим выражение для функции $y = (\frac{1}{2}x + 3)(\frac{1}{3}x - 4) - \frac{x^2}{6} + 8$.
Раскроем скобки:
$y = (\frac{1}{2}x \cdot \frac{1}{3}x + \frac{1}{2}x \cdot (-4) + 3 \cdot \frac{1}{3}x + 3 \cdot (-4)) - \frac{x^2}{6} + 8$
$y = (\frac{1}{6}x^2 - 2x + x - 12) - \frac{x^2}{6} + 8$
$y = \frac{1}{6}x^2 - x - 12 - \frac{x^2}{6} + 8$
Приведем подобные слагаемые:
$y = (\frac{1}{6}x^2 - \frac{x^2}{6}) - x + (-12 + 8)$
$y = 0 - x - 4$
$y = -x - 4$
Получили линейную функцию $y = -x - 4$. Ее график — прямая. Найдем две точки для построения:
1. Если $x = 0$, то $y = -0 - 4 = -4$. Точка $(0, -4)$.
2. Если $x = -4$, то $y = -(-4) - 4 = 4 - 4 = 0$. Точка $(-4, 0)$.
Проводим прямую через точки $(0, -4)$ и $(-4, 0)$.
Ответ: $y = -x - 4$, график — прямая, проходящая через точки $(0, -4)$ и $(-4, 0)$.

д) Упростим выражение для функции $y = x^6 - (x^3 - 2)(x^3 + 2)$.
Воспользуемся формулой разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, где $a = x^3$ и $b = 2$.
$(x^3 - 2)(x^3 + 2) = (x^3)^2 - 2^2 = x^6 - 4$
Подставим это в исходное уравнение:
$y = x^6 - (x^6 - 4)$
$y = x^6 - x^6 + 4$
$y = 4$
Получили постоянную функцию $y = 4$. Ее график — это прямая, параллельная оси абсцисс (оси $Ox$) и проходящая через точку $(0, 4)$ на оси ординат (оси $Oy$).
Ответ: $y = 4$, график — горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, 4)$.

е) Упростим выражение для функции $y = (-x - 2)^2 - (-x + 2)^2 + 3$.
Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = -x - 2$ и $b = -x + 2$.
$a - b = (-x - 2) - (-x + 2) = -x - 2 + x - 2 = -4$
$a + b = (-x - 2) + (-x + 2) = -x - 2 - x + 2 = -2x$
Тогда $a^2 - b^2 = (-4)(-2x) = 8x$.
Подставим в исходное уравнение:
$y = 8x + 3$
Получили линейную функцию $y = 8x + 3$. Ее график — прямая. Найдем две точки для построения:
1. Если $x = 0$, то $y = 8 \cdot 0 + 3 = 3$. Точка $(0, 3)$.
2. Если $x = -1$, то $y = 8 \cdot (-1) + 3 = -8 + 3 = -5$. Точка $(-1, -5)$.
Проводим прямую через точки $(0, 3)$ и $(-1, -5)$.
Ответ: $y = 8x + 3$, график — прямая, проходящая через точки $(0, 3)$ и $(-1, -5)$.

ж) Упростим выражение для функции $y = 2(x - 1)^2 + (x + 1)^2 - 3(1 + x)(x - 1) - 2$.
Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности, квадрата суммы и разности квадратов:
$2(x - 1)^2 = 2(x^2 - 2x + 1) = 2x^2 - 4x + 2$
$(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$
$-3(1 + x)(x - 1) = -3(x^2 - 1^2) = -3(x^2 - 1) = -3x^2 + 3$
Соберем все вместе:
$y = (2x^2 - 4x + 2) + (x^2 + 2x + 1) + (-3x^2 + 3) - 2$
$y = 2x^2 - 4x + 2 + x^2 + 2x + 1 - 3x^2 + 3 - 2$
Приведем подобные слагаемые:
$y = (2x^2 + x^2 - 3x^2) + (-4x + 2x) + (2 + 1 + 3 - 2)$
$y = 0 - 2x + 4$
$y = -2x + 4$
Получили линейную функцию $y = -2x + 4$. Ее график — прямая. Найдем две точки:
1. Если $x = 0$, то $y = -2 \cdot 0 + 4 = 4$. Точка $(0, 4)$.
2. Если $x = 2$, то $y = -2 \cdot 2 + 4 = -4 + 4 = 0$. Точка $(2, 0)$.
Проводим прямую через точки $(0, 4)$ и $(2, 0)$.
Ответ: $y = -2x + 4$, график — прямая, проходящая через точки $(0, 4)$ и $(2, 0)$.

з) Упростим выражение для функции $y = 5(x + 1)^2 + (x - 3)^2 - 6(x - 1)(x + 1) - 17$.
Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения:
$5(x + 1)^2 = 5(x^2 + 2x + 1) = 5x^2 + 10x + 5$
$(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$
$-6(x - 1)(x + 1) = -6(x^2 - 1) = -6x^2 + 6$
Соберем все вместе:
$y = (5x^2 + 10x + 5) + (x^2 - 6x + 9) + (-6x^2 + 6) - 17$
$y = 5x^2 + 10x + 5 + x^2 - 6x + 9 - 6x^2 + 6 - 17$
Приведем подобные слагаемые:
$y = (5x^2 + x^2 - 6x^2) + (10x - 6x) + (5 + 9 + 6 - 17)$
$y = 0 + 4x + 3$
$y = 4x + 3$
Получили линейную функцию $y = 4x + 3$. Ее график — прямая. Найдем две точки:
1. Если $x = 0$, то $y = 4 \cdot 0 + 3 = 3$. Точка $(0, 3)$.
2. Если $x = -1$, то $y = 4 \cdot (-1) + 3 = -4 + 3 = -1$. Точка $(-1, -1)$.
Проводим прямую через точки $(0, 3)$ и $(-1, -1)$.
Ответ: $y = 4x + 3$, график — прямая, проходящая через точки $(0, 3)$ и $(-1, -1)$.