Номер 17.50, страница 82 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

17.50*. На рисунке 10 изображены графики функций $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$.

Верно ли, что:

а) $k_1 > k_2$;

б) $b_1 > b_2$;

в) $b_2 > 0$;

г) $k_2 < 0$?

$y = k_2x + b_2$

$y = k_1x + b_1$

Рис. 10

Для решения задачи проанализируем свойства коэффициентов линейной функции $y = kx + b$ по её графику.

Коэффициент $k$, называемый угловым коэффициентом, отвечает за наклон прямой. Если прямая направлена вверх слева направо (функция возрастает), то $k > 0$. Если прямая направлена вниз (функция убывает), то $k < 0$. Чем больше абсолютное значение коэффициента $k$, тем "круче" идёт прямая, то есть тем больший угол она образует с осью $x$.

Коэффициент $b$ (свободный член) — это ордината точки, в которой график функции пересекает ось $y$. Если точка пересечения расположена выше оси $x$ (выше начала координат), то $b > 0$. Если точка пересечения расположена ниже оси $x$, то $b < 0$.

Рассмотрим каждую функцию отдельно:

Функция $y = k_1x + b_1$ (синяя линия):

• График является возрастающим (идет вверх слева направо), следовательно, угловой коэффициент $k_1$ положителен: $k_1 > 0$.
• График пересекает ось $y$ в точке ниже начала координат, следовательно, свободный член $b_1$ отрицателен: $b_1 < 0$.

Функция $y = k_2x + b_2$ (черная линия):

• График также является возрастающим, следовательно, угловой коэффициент $k_2$ положителен: $k_2 > 0$.
• График пересекает ось $y$ в точке выше начала координат, следовательно, свободный член $b_2$ положителен: $b_2 > 0$.

Теперь проверим истинность данных утверждений:

а) $k_1 > k_2$

Обе прямые имеют положительные угловые коэффициенты ($k_1 > 0$ и $k_2 > 0$). Синяя линия ($y = k_1x + b_1$) наклонена к оси $x$ под большим углом, чем черная линия ($y = k_2x + b_2$). Для возрастающих функций (с положительными $k$) большему углу наклона соответствует большее значение углового коэффициента. Таким образом, $k_1 > k_2$. Утверждение верно.

Ответ: верно.

б) $b_1 > b_2$

Мы определили, что $b_1 < 0$ (точка пересечения с осью $y$ ниже нуля) и $b_2 > 0$ (точка пересечения с осью $y$ выше нуля). Любое отрицательное число всегда меньше любого положительного числа, поэтому $b_1 < b_2$. Следовательно, утверждение $b_1 > b_2$ неверно.

Ответ: неверно.

в) $b_2 > 0$

Как было установлено ранее, график функции $y = k_2x + b_2$ (черная линия) пересекает ось $y$ в точке с положительной ординатой. Это означает, что $b_2$ — положительное число. Утверждение верно.

Ответ: верно.

г) $k_2 < 0$

Как было установлено ранее, график функции $y = k_2x + b_2$ (черная линия) является графиком возрастающей функции, так как он направлен вверх слева направо. Это означает, что ее угловой коэффициент $k_2$ должен быть положительным. Следовательно, $k_2 > 0$. Утверждение $k_2 < 0$ неверно.

Ответ: неверно.