Номер 1.135, страница 30 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.135*. Упростите выражение:

а) $ \frac{3^{-n+3} \cdot 3^{-5n-2}}{3^{-6n-1}} $;

б) $ \frac{15^{-n}}{3^{-n+1} \cdot 5^{-n-1}} $.

a) Для упрощения выражения $ \frac{3^{-n+3} \cdot 3^{-5n-2}}{3^{-6n-1}} $ воспользуемся свойствами степеней.

1. Упростим числитель, применив правило умножения степеней с одинаковым основанием ($ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $):

$ 3^{-n+3} \cdot 3^{-5n-2} = 3^{(-n+3) + (-5n-2)} = 3^{-n-5n+3-2} = 3^{-6n+1} $

2. Теперь выражение имеет вид:

$ \frac{3^{-6n+1}}{3^{-6n-1}} $

3. Применим правило деления степеней с одинаковым основанием ($ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $):

$ 3^{(-6n+1) - (-6n-1)} = 3^{-6n+1+6n+1} = 3^{2} = 9 $

Ответ: 9

б) Для упрощения выражения $ \frac{15^{-n}}{3^{-n+1} \cdot 5^{-n-1}} $ воспользуемся свойствами степеней.

1. Представим основание 15 в виде произведения простых множителей $ 15 = 3 \cdot 5 $. Используя свойство степени произведения ($ (ab)^m = a^m b^m $), перепишем числитель:

$ 15^{-n} = (3 \cdot 5)^{-n} = 3^{-n} \cdot 5^{-n} $

2. Подставим полученное выражение в дробь:

$ \frac{3^{-n} \cdot 5^{-n}}{3^{-n+1} \cdot 5^{-n-1}} $

3. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим правило деления степеней ($ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $):

$ (\frac{3^{-n}}{3^{-n+1}}) \cdot (\frac{5^{-n}}{5^{-n-1}}) = 3^{-n - (-n+1)} \cdot 5^{-n - (-n-1)} = 3^{-n+n-1} \cdot 5^{-n+n+1} = 3^{-1} \cdot 5^{1} $

4. Вычислим итоговое значение:

$ 3^{-1} \cdot 5 = \frac{1}{3} \cdot 5 = \frac{5}{3} $

5. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число, выделив целую часть:

$ \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} $

Ответ: $1\frac{2}{3}$