Номер 1.134, страница 30 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.134*. Вычислите:

$\frac{-4 \cdot (-3)^{-17} - (-3)^{-16}}{9^{-9} \cdot 45}$

Для того чтобы вычислить значение данного выражения, мы последовательно упростим числитель и знаменатель дроби.

Исходное выражение:

$$ \frac{-4 \cdot (-3)^{-17} - (-3)^{-16}}{9^{-9} \cdot 45} $$

Упрощение числителя:

Рассмотрим числитель: $ -4 \cdot (-3)^{-17} - (-3)^{-16} $. Вынесем за скобки общий множитель с наименьшей степенью, то есть $ (-3)^{-17} $. Для этого представим $ (-3)^{-16} $ как $ (-3)^{-17} \cdot (-3)^1 $:

$$ -4 \cdot (-3)^{-17} - (-3)^{-17} \cdot (-3) = (-3)^{-17} \cdot (-4 - (-3)) $$

Выполним вычисления в скобках:

$$ = (-3)^{-17} \cdot (-4 + 3) = (-3)^{-17} \cdot (-1) = -(-3)^{-17} $$

Поскольку отрицательное число, возведенное в нечетную степень (в данном случае -17), является отрицательным, то $ (-3)^{-17} = -(3^{-17}) $.

Таким образом, числитель равен: $ -(-(3^{-17})) = 3^{-17} $.

Упрощение знаменателя:

Рассмотрим знаменатель: $ 9^{-9} \cdot 45 $. Представим числа 9 и 45 через степени простого числа 3:

$ 9 = 3^2 $

$ 45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5 $

Подставим эти значения в знаменатель и воспользуемся свойствами степеней $ (a^m)^n = a^{mn} $ и $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $:

$$ 9^{-9} \cdot 45 = (3^2)^{-9} \cdot (3^2 \cdot 5) = 3^{-18} \cdot 3^2 \cdot 5 = 3^{-18+2} \cdot 5 = 3^{-16} \cdot 5 $$

Таким образом, знаменатель равен $ 5 \cdot 3^{-16} $.

Вычисление итогового значения дроби:

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$$ \frac{3^{-17}}{5 \cdot 3^{-16}} $$

Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:

$$ \frac{1}{5} \cdot \frac{3^{-17}}{3^{-16}} = \frac{1}{5} \cdot 3^{-17 - (-16)} = \frac{1}{5} \cdot 3^{-17+16} = \frac{1}{5} \cdot 3^{-1} $$

Зная, что отрицательная степень $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, получаем $ 3^{-1} = \frac{1}{3} $.

Окончательный результат:

$$ \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{15} $$

Ответ: $ \frac{1}{15} $.