Номер 1.129, страница 29 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.129. Найдите значение выражения $\frac{(x^{-3} \cdot x^{-6})^4}{x^{-33}}$ при $x=-0,5$.

Чтобы найти значение выражения $\frac{(x^{-3} \cdot x^{-6})^4}{x^{-33}}$ при $x = -0,5$, необходимо сначала упростить данное алгебраическое выражение, используя свойства степеней.

Шаг 1: Упрощение выражения в числителе.

Сначала выполним умножение в скобках. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются (согласно правилу $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$$ x^{-3} \cdot x^{-6} = x^{-3 + (-6)} = x^{-9} $$

Шаг 2: Возведение в степень.

Теперь все выражение в числителе можно записать как $(x^{-9})^4$. При возведении степени в степень показатели перемножаются (согласно правилу $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$):

$$ (x^{-9})^4 = x^{-9 \cdot 4} = x^{-36} $$

Шаг 3: Деление степеней.

После упрощения числителя все выражение принимает вид $\frac{x^{-36}}{x^{-33}}$. При делении степеней с одинаковым основанием из показателя степени числителя вычитается показатель степени знаменателя (согласно правилу $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):

$$ \frac{x^{-36}}{x^{-33}} = x^{-36 - (-33)} = x^{-36 + 33} = x^{-3} $$

Шаг 4: Подстановка значения переменной.

Мы упростили исходное выражение до $x^{-3}$. Теперь подставим в него заданное значение $x = -0,5$. Для удобства вычислений представим десятичную дробь в виде обыкновенной:

$$ x = -0,5 = -\frac{1}{2} $$

Подставляем это значение в упрощенное выражение:

$$ x^{-3} = \left(-\frac{1}{2}\right)^{-3} $$

Используя свойство степени с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), получаем:

$$ \left(-\frac{1}{2}\right)^{-3} = \frac{1}{\left(-\frac{1}{2}\right)^3} = \frac{1}{-\frac{1^3}{2^3}} = \frac{1}{-\frac{1}{8}} = 1 \cdot (-8) = -8 $$

Ответ: -8