Номер 1.131, страница 30 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.131. Представьте выражение $\frac{(a^{-3})^{-2} \cdot (a^3)^{-3}}{(a^{-1})^{-2} \cdot (a^2)^{-4}}$ в виде степени с основанием $a$.

Чтобы представить выражение в виде степени с основанием $a$, необходимо последовательно упростить числитель и знаменатель дроби, используя свойства степеней.

Исходное выражение: $$ \frac{(a^{-3})^{-2} \cdot (a^3)^{-3}}{(a^{-1})^{-2} \cdot (a^2)^{-4}} $$

Воспользуемся следующими свойствами степеней:

• При возведении степени в степень их показатели перемножаются: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
• При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.
• При делении степеней с одинаковым основанием из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя: $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$.

Шаг 1: Упрощение числителя

Применяем правило возведения степени в степень для каждого множителя в числителе:

$$ (a^{-3})^{-2} \cdot (a^3)^{-3} = a^{-3 \cdot (-2)} \cdot a^{3 \cdot (-3)} = a^6 \cdot a^{-9} $$

Далее, применяем правило умножения степеней:

$$ a^6 \cdot a^{-9} = a^{6 + (-9)} = a^{-3} $$

Шаг 2: Упрощение знаменателя

Аналогично упрощаем знаменатель:

$$ (a^{-1})^{-2} \cdot (a^2)^{-4} = a^{-1 \cdot (-2)} \cdot a^{2 \cdot (-4)} = a^2 \cdot a^{-8} $$

Применяем правило умножения степеней:

$$ a^2 \cdot a^{-8} = a^{2 + (-8)} = a^{-6} $$

Шаг 3: Деление числителя на знаменатель

Подставляем упрощенные выражения обратно в дробь:

$$ \frac{a^{-3}}{a^{-6}} $$

Применяем правило деления степеней:

$$ a^{-3 - (-6)} = a^{-3 + 6} = a^3 $$

Ответ: $a^3$