Номер 1.125, страница 29 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.125. Представьте выражение:

а) $\frac{a^5 \cdot a^{-8}}{a^{-2}}$ в виде степени с основанием $a$ и найдите его значение при $a=6;

б) $\frac{b^{-9}}{b^{-2} \cdot b^{-5}}$ в виде степени с основанием $b$ и найдите его значение при $b=\frac{1}{2}.

а) Представьте выражение $\frac{a^5 \cdot a^{-8}}{a^{-2}}$ в виде степени с основанием $a$ и найдите его значение при $a = 6$.

Решение:

1. Упростим данное выражение, используя свойства степеней.

Сначала упростим числитель. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$):

$a^5 \cdot a^{-8} = a^{5 + (-8)} = a^{5-8} = a^{-3}$

Теперь выражение принимает вид:

$\frac{a^{-3}}{a^{-2}}$

При делении степеней с одинаковым основанием из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя ($\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$):

$\frac{a^{-3}}{a^{-2}} = a^{-3 - (-2)} = a^{-3 + 2} = a^{-1}$

Таким образом, выражение в виде степени с основанием $a$ есть $a^{-1}$.

2. Теперь найдем значение этого выражения при $a = 6$.

Подставим значение $a = 6$ в полученное выражение:

$a^{-1} = 6^{-1} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$.

б) Представьте выражение $\frac{b^{-9}}{b^{-2} \cdot b^{-5}}$ в виде степени с основанием $b$ и найдите его значение при $b = \frac{1}{2}$.

Решение:

1. Упростим данное выражение, используя свойства степеней.

Сначала упростим знаменатель. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$):

$b^{-2} \cdot b^{-5} = b^{-2 + (-5)} = b^{-2-5} = b^{-7}$

Теперь выражение принимает вид:

$\frac{b^{-9}}{b^{-7}}$

При делении степеней с одинаковым основанием из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя ($\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$):

$\frac{b^{-9}}{b^{-7}} = b^{-9 - (-7)} = b^{-9 + 7} = b^{-2}$

Таким образом, выражение в виде степени с основанием $b$ есть $b^{-2}$.

2. Теперь найдем значение этого выражения при $b = \frac{1}{2}$.

Подставим значение $b = \frac{1}{2}$ в полученное выражение:

$b^{-2} = (\frac{1}{2})^{-2}$

Используя свойство степени с отрицательным показателем ($(\frac{x}{y})^{-n} = (\frac{y}{x})^n$), получаем:

$(\frac{1}{2})^{-2} = (\frac{2}{1})^2 = 2^2 = 4$

Ответ: 4.